[論文レビュー] Translation of Leonhard Euler's: General Principles of the Motion of Fluids

U. Frisch|ArXiv.org|Feb 17, 2008

Fluid dynamics and aerodynamics studies参考文献 1被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、1775年にエーラーが発表した流体運動の一般原理に関する古典的論文の翻訳および改変版を提示しており、流体力学の基礎方程式を確立している。外部力が作用する圧縮性および非圧縮性流体の運動方程式、連続の式、状態方程式を定式化し、流体の軌道を記述するために速度ポテンシャルと可積分性条件を導入している。主な貢献は、当時の数学的解析の水準が原因で、これらの方程式を解くことにおける解析的限界を特定した点である。

ABSTRACT

This is an adapatation by U. Frisch of an English translation by Thomas E. Burton of Euler's memoir `Principes généraux du mouvement des fluides' (Euler, 1775b). Burton's translation appeared in Fluid Dynamics, 34} (1999) pp. 801-82, Springer and is here adapted by permission. A detailed presentation of Euler's published work can be found in Truesdell, 1954. Euler's work is discussed also in the perspective of eighteenth century fluid dynamics research by Darrigol and Frisch, 2008. Explanatory footnotes have been supplied where necessary by G.K. Mikhailov and a few more by U. Frisch and O.Darrigol. Euler's memoir had neither footnotes nor a list of references.

研究の動機と目的

• 流体の平衡に関するエーラーの先行研究に類似した形で、流体運動の一般原理を確立すること。
• 任意の外部力が作用する条件下で、流体運動を支配する基本方程式（運動方程式、連続の式、状態方程式）を導出すること。
• 流体運動が速度ポテンシャルおよび可積分微分形式を用いて記述可能な条件を調査すること。
• 初期条件および境界条件が流体の軌道を決定する役割を明確にし、数学的解析の水準に起因する制限を明らかにすること。

提案手法

• 外部加速度力および内部の圧力勾配を含む力の分析により、流体要素の運動方程式を導出する。
• dS = udx + vdy + wdz + Πdt を満たす速度ポテンシャル S の概念を導入し、流体運動を単一のスカラー関数で記述可能にする。
• 微分形式 udx + vdy + wdz が可積分であるという条件を適用し、速度ポテンシャルの存在を導き、方程式系の簡略化を実現する。
• 質量保存を保証するため、連続の式 dq/dt + d(qu)/dx + d(qv)/dy + d(qw)/dz = 0 を用いる。
• 固体表面で速度の法線成分が消えることを要請することで境界条件を適用し、流体粒子が容器壁に沿って移動することを保証する。
• 流体運動の問題を、圧力と速度の微分項を含む力学的バランスを記述する方程式と、連続の式による質量保存を保証する方程式の2つに簡約化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 流体の運動を支配する一般原理は何か。これは圧縮性や外部力の性質にかかわらず成立するか？
• RQ2 流体の速度場が速度ポテンシャルで記述可能となる条件は何か。この記述法は運動方程式の簡略化にどのように寄与するか？
• RQ3 初期条件および境界条件は、与えられた流れ領域内での流体の軌道の決定にどのように影響を与えるか？
• RQ4 流体運動方程式がまだ完全に解けない理由は何か。数学的解析の水準はこの制限にどのように関与しているか？

主な発見

• 流体要素の運動は、その3つの速度成分 u, v, w によって完全に決定され、微分関係式 dx = udt, dy = vdt, dz = wdt を用いてその軌道を再構成可能である。
• 微分形式 udx + vdy + wdz が可積分であるとき、dS = udx + vdy + wdz + Πdt を満たす速度ポテンシャル S が存在し、流れのよりcompactな表現が可能になる。
• 方程式系は、力のバランス（圧力および加速度項を含む）を記述する方程式と、連続の式による質量保存を保証する方程式の2つに簡約化される。
• 流体粒子が固体境界に沿って移動することを保証するため、表面で速度の法線成分が消えるという条件を境界条件として組み込む必要がある。
• 理論的枠組みは完全であるが、本稿は方程式を解くことができない理由が力学的要因ではなく、非線形偏微分方程式を扱う数学的解析の未熟な水準に起因すると結論づけている。
• エーラーは、udx + vdy + wdz が可積分でない非ポテンシャル流れの存在がまだ十分に認識されていなかったこと、当時回転流体の理解にギャップがあったことを特定している。