[論文レビュー] Transmission through a potential barrier in quantum mechanics of multiple degrees of freedom: complex way to the top

Fedor Bezrukov, D. G. Levkov|ArXiv.org|Jan 7, 2003

Quantum chaos and dynamical systems被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、複数の自由度を持つ量子系におけるトンネル指数を計算するための半古典的手法を開発し、分岐点を通じて物理的に関連する古典的解を選択するための正則化技術を導入する。高エネルギー領域ではトンネルが障害物の頂上付近の古典的状態を経由して発生することを示し、2自由度モデルにおいて正確な量子解と一致することを確認した。

ABSTRACT

A semiclassical method for the calculation of tunneling exponent in systems with many degrees of freedom is developed. We find that corresponding classical solution as function of energy form several branches joint by bifurcation points. A regularization technique is proposed, which enables one to choose physically relevant branches of solutions everywhere in the classically forbidden region and also in the allowed region. At relatively high energy the physical branch describes tunneling via creation of a classical state, close to the top of the barrier. The method is checked against exact solutions of the Schrodinger equation in a quantum mechanical system of two degrees of freedom.

研究の動機と目的

• 複数の自由度を持つ量子系におけるトンネル指数を信頼性高く計算するための半古典的手法を開発すること。
• 分岐によって複数の解の分岐が生じる際、ユークリッド時間経路積分形式において物理的に関連する古典的解を特定する課題に対処すること。
• 古典的許容領域および禁止領域の両方で、正しい解の分岐を一貫して選択する正則化技術を導入すること。
• 高エネルギー領域においてトンネルが、標準的なWKB型経路ではなく、障害物の頂上付近の古典的状態を経由して進行することを示すこと。
• 2粒子調和振動子モデルに障害物を導入した2自由度系において、正確な量子力学的解と照合することで、手法の妥当性を検証すること。

提案手法

• トンネル遷移を記述するための $T/\theta$ 初期値問題を定式化し、$T$ をユークリッド時間、$\theta$ を振動子励起数に関連付ける。
• 遷移振幅の経路積分表現を用い、主要寄与は作用関数の鞍点によって与えられることを仮定する。
• 正則化として小さな正のパラメータ $\epsilon$ を用い、関数 $F[q] = F[q] + 2\epsilon T_{\mathrm{int}}[q]$ を導入し、相互作用時間 $T_{\mathrm{int}}$ を最小化する解を選択する。
• 複素時間における境界条件を課し、初期運動量および初期位置を実数とし、振幅と位相を結ぶ条件 $v = u^* e^{\theta}$ を導入する。
• ユークリッド時間における古典的運動方程式を解き、エネルギー $E$、励起数 $N$、およびラグランジュ乗数 $T$、$\theta$ の間の制約を課す。
• 作用の指数 $F = -ET - N\theta + 2\mathrm{Im}\,S_0(T,\theta)$ を極小化することで、支配的トンネル経路を特定する。ここで $S_0$ は正則化された作用である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 分岐によって複数の解の分岐が生じる複数自由度トンネル問題において、物理的に関連する古典的解を一貫して選択する方法は何か？
• RQ2 振動子の初期位相がトンネル経路に与える役割は何か？ また、支配的寄与を特定するためにどのように最適化できるか？
• RQ3 高エネルギー領域においてトンネル機構はどのように変化するか？ 特に、系が古典的に障害物の頂上に到達可能な場合に注目する。
• RQ4 古典的許容領域および禁止領域の両方で、正しい解の分岐を選択する正則化技術を構築可能か？
• RQ5 $T/\theta$ 初期値問題は、2自由度系において正確な量子力学的結果をどの程度再現できるか？

主な発見

• 正則化技術により、古典的許容領域および禁止領域の両方で、相互作用時間 $T_{\mathrm{int}}$ を最小化することで物理的に関連する解の分岐が的確に選択された。
• 高エネルギー領域では、支配的トンネル経路が、標準的なWKB型経路ではなく、障害物の頂上に達する古典的状態に対応することが示された。
• $T/\theta$ 初期値問題は、上昇領域で一意の解をもたらし、固定された $E$ および $N$ に対して $T_{\mathrm{int}}$ を最小化する古典的経路に対応する。
• 本手法は2自由度系の正確な量子力学的結果を再現でき、その正確性が裏付けられた。
• 解の分岐は分岐点を介して接続されており、正則化手順によりそれらの点を越えて連続的かつ物理的に整合性のある解が得られた。
• 作用指数 $F$ は $F = -ET - N\theta + 2\mathrm{Im}\,S_0(T,\theta)$ として計算され、$S_0$ は正則化されたユークリッド作用から導出された。