[論文レビュー] Transmitter Optimization for Achieving Secrecy Capacity in Gaussian MIMO Wiretap Channels

Jiangyuan Li, Athina P. Petropulu|ArXiv.org|Sep 14, 2009

Wireless Communication Security Techniques参考文献 21被引用数 61

ひとこと要約

本稿は、Gaussian MIMO ワイアートラップチャネルにおける秘匿容量を達成するための送信機最適化フレームワークを提案する。これは、パワー制約下での入力共分散行列に対する非凸最適化問題を解くことで達成される。MISO チャネルの場合と、正当受信者と盗聴者チャネルのグラム行列の差が不定で、正固有値が1つ、残りが負である場合に、閉形式解を導出する。一般の場合には反復的固定点アルゴリズムを提示し、特定の条件下でランク1構造が成立することを示す。

ABSTRACT

We consider a Gaussian multiple-input multiple-output (MIMO) wiretap channel model, where there exists a transmitter, a legitimate receiver and an eavesdropper, each node equipped with multiple antennas. We study the problem of finding the optimal input covariance matrix that achieves secrecy capacity subject to a power constraint, which leads to a non-convex optimization problem that is in general difficult to solve. Existing results for this problem address the case in which the transmitter and the legitimate receiver have two antennas each and the eavesdropper has one antenna. For the general cases, it has been shown that the optimal input covariance matrix has low rank when the difference between the Grams of the eavesdropper and the legitimate receiver channel matrices is indefinite or semi-definite, while it may have low rank or full rank when the difference is positive definite. In this paper, the aforementioned non-convex optimization problem is investigated. In particular, for the multiple-input single-output (MISO) wiretap channel, the optimal input covariance matrix is obtained in closed form. For general cases, we derive the necessary conditions for the optimal input covariance matrix consisting of a set of equations. For the case in which the transmitter has two antennas, the derived necessary conditions can result in a closed form solution; For the case in which the difference between the Grams is indefinite and has all negative eigenvalues except one positive eigenvalue, the optimal input covariance matrix has rank one and can be obtained in closed form; For other cases, the solution is proved to be a fixed point of a mapping from a convex set to itself and an iterative procedure is provided to search for it. Numerical results are presented to illustrate the proposed theoretical findings.

研究の動機と目的

• Gaussian MIMO ワイアートラップチャネルにおけるパワー制約下で、秘匿容量を達成する最適な入力共分散行列を求める非凸最適化問題に対処すること。
• 2×2×1 アンテナの特殊ケースを超えて、一般 MIMO 結合に拡張すること。
• 最適性の必要条件を導出し、チャネルのグラム行列に特定の構造的仮定を置いた場合の閉形式解を同定すること。
• 閉形式解が得られない場合のための反復的固定点アルゴリズムを開発すること。
• 特定の条件下で、最適な入力共分散行列がランク1であることを証明し、効率的なビームフォーミング設計を可能にすること。

提案手法

• ラグランジュ双対性と行列解析を用いて、MIMO ワイアートラップチャネルにおける秘匿容量最適化問題の必要最適条件を導出する。
• 固有値分解とランク制約を用いて、MISO チャネル（複数入力、単一出力）の場合に閉形式で最適化問題を解く。
• 2アンテナ送信機の場合、問題を解ける方程式の集合に簡略化し、閉形式解を導出する。
• 盗聴者と正当受信者のチャネルグラム行列の差が不定で、正固有値が1つ、残りが負である場合、最適ビームフォーミング行列はランク1であり、閉形式で計算可能であることを証明する。
• その他のすべてのケースでは、凸集合から自身への写像の固定点として解を定式化し、反復的アルゴリズムによる収束を可能にする。
• 固有値分解と行列不等式解析を用いて、最適共分散行列の構造的性質を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようなチャネル条件下で、秘匿容量の最適入力共分散行列がランク1となるか？
• RQ2 一般構成のMIMOワイアートラップチャネルにおける秘匿容量最適化問題は、閉形式で解けるか？
• RQ3 パワー制約下での一般MIMOワイアートラップチャネルにおける最適入力共分散行列の必要条件は何か？
• RQ4 閉形式解が得られない場合、非凸秘匿容量最適化問題を効率的にどのように解けるか？
• RQ5 正当受信者と盗聴者のチャネルグラム行列の差が不定である場合、最適ビームフォーミング設計にどのような構造的性質が現れるか？

主な発見

• MISO ワイアートラップチャネルでは、最適入力共分散行列が閉形式で導出され、秘匿容量を達成するビームフォーミングの直接計算が可能となる。
• 送信機に2アンテナがある場合、必要条件から最適ビームフォーミングベクトルの閉形式解が得られる。
• 盗聴者と正当受信者のチャネルグラム行列の差が不定で、正固有値が1つ、残りが負である場合、最適入力共分散行列はランク1であり、閉形式で計算可能である。
• その他のすべてのケースでは、最適解は凸集合から自身への写像の固定点として定式化され、反復的アルゴリズムが提案される。
• 理論的解析により、ランク1条件下でビームフォーミングベクトルが変換されたチャネル行列の主固有ベクトルと一致することを証明し、秘匿レートの最大化を保証する。
• 数値結果により理論的考察が妥当であることが検証され、反復的アルゴリズムの収束と、非最適化ビームフォーミングに対する性能向上が示された。