[論文レビュー] Transparent Boundary Conditions for the Time-Dependent Schrödinger Equation with a Vector Potential

Jason Kaye, Leslie Greengard|arXiv (Cornell University)|Dec 11, 2018

Electromagnetic Simulation and Numerical Methods参考文献 30被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、任意の区分的滑らか領域におけるベクトルポテンシャルを伴う時間発展シュレーディンガー方程式に対して、ポテンシャル論およびグリーンの表現定理を用いて、正確な透過境界条件（TBCs）を導出する一般的手法を提示する。1次元問題においてベクトルポテンシャルが非ゼロの場合、TBCsは時間に関して非畳み込み的となる。著者らは、このような非局所的境界条件を効率的に計算するための高速バタフライアルゴリズムを開発し、境界反射を最小限に抑えつつ、高精度かつ高効率な数値シミュレーションを可能にした。

ABSTRACT

We consider the problem of constructing transparent boundary conditions for the time-dependent Schrödinger equation with a compactly supported binding potential and, if desired, a spatially uniform, time-dependent electromagnetic vector potential. Such conditions prevent nonphysical boundary effects from corrupting a numerical solution in a bounded computational domain. We use ideas from potential theory to build exact nonlocal conditions for arbitrary piecewise-smooth domains. These generalize the standard Dirichlet-to-Neumann and Neumann-to-Dirichlet maps known for the equation in one dimension without a vector potential. When the vector potential is included, the condition becomes non-convolutional in time. For the one-dimensional problem, we propose a simple discretization scheme and a fast algorithm to accelerate the evaluation of the boundary condition.

研究の動機と目的

• 任意の区分的滑らか領域における、コンパクトに台を持つポテンシャルと時間依存ベクトルポテンシャルを伴う時間発展シュレーディンガー方程式に対して、正確な透過境界条件（TBCs）を構築すること。
• 従来、スカラーポテンシャルや1次元問題に限定されていたTBCフレームワークを、高次元における電磁的ベクトルポテンシャルを含む形に拡張すること。
• ベクトルポテンシャルによって生じる非畳み込み的時間依存性に起因する計算課題に対処し、その非局所的積分作用素を効率的に計算するための新規アルゴリズムを設計すること。
• Crank-Nicolsonスキームを用いた数値実験を通じて、TBCsとディリクレ境界条件の両方を用いたシミュレーションの正確性と効率性を示すこと。

提案手法

• ポテンシャル論およびグリーンの表現定理を用いて、任意の領域におけるベクトルポテンシャルを伴うシュレーディンガー方程式の正確な非局所的TBCsを導出する。
• 境界上の積分を含む、ディリクレからノイマンへの写像型TBCsを導出し、核関数は問題の全グリーン関数から得られる。
• 非ゼロのベクトルポテンシャルを伴う1次元問題では、得られるTBCsは時間に関して非畳み込み的となる。これは、ベクトルポテンシャルが存在しない場合の標準的TBCsとは明確に異なる。
• 非畳み込み的積分作用素の計算を高速化するための新規高速バタフライアルゴリズムを提案し、時間ステップ数に対して近似的線形スケーリングを実現する。
• 半離散的Crank-Nicolsonスキームにロビン型境界条件を組み込み、空間離散化には高次精度有限差分法を用いる。
• 行列圧縮技術と事前計算を用いて、特にベクトルポテンシャルの時間的構造が単純な場合に、メモリおよび計算コストを低減する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の区分的滑らか領域におけるベクトルポテンシャルを伴う時間発展シュレーディンガー方程式に対して、正確な透過境界条件をどのように導出できるか。
• RQ2 ベクトルポテンシャルが非ゼロの場合、TBCsの数学的構造は何か。また、ベクトルポテンシャルが存在しない場合の標準的畳み込み形とはどのように異なるか。
• RQ3 ベクトルポテンシャルの存在に起因する非畳み込み的時間積分作用素を効率的に計算するための高速アルゴリズムを開発できるか。
• RQ4 TBCを用いたスキームの正確性は、標準的ディリクレ境界条件と比較して、解の誤差および安定性の観点でどのように異なるか。
• RQ5 TBCsの適用にかかる計算コストは何か。また、現代の高速アルゴリズムを用いることで、大規模シミュレーションにスケーラブルにできるか。

主な発見

• 提案されたTBCsは、任意の区分的滑らか領域におけるベクトルポテンシャルを伴うシュレーディンガー方程式に対して正確に成立し、グリーンの表現定理を用いて導出された。
• ベクトルポテンシャルが非ゼロの場合、TBCsは時間に関して非畳み込み的となる。これは、標準的畳み込みベースのアルゴリズムが無効となることを意味し、新たな計算戦略の必要性を生じる。
• 1次元問題において、著者らは近似的線形スケーリングを達成する高速バタフライアルゴリズムを構築し、TBC計算コストを全シミュレーション時間の0.02%未満にまで低減した。
• 数値実験により、全体のスキームは時間に関して2次収束を示し、同じ空間離散化を用いた場合、TBCとディリクレ境界条件の両方のスキームでほぼ同一の誤差を発生させた。
• ベクトルポテンシャルの符号が変化するような状況では、TBCスキームがディリクレ境界条件スキームよりも正確であり、外領域における誤差の蓄積が少ないことが判明した。
• ベクトルポテンシャルの時間的依存性が単純な場合、行列圧縮によりシステム行列 $S_N$ および $D_N$ の効率的前処理と保存が可能となった。