[論文レビュー] Transport coefficients for a granular gas around uniform shear flow

Vicente Garzó|arXiv (Cornell University)|Jun 1, 2005

Granular flow and fluidized beds被引用数 1

ひとこと要約

本稿では、剪断率に依存する完全な流体力学的依存性を捉える非平衡基準状態のまわりで、均一剪断流れに近い粒子性ガスの輸送係数をチャップマン＝エンスコーグに類似した展開を用いて導出する。主な貢献は、非弾性冷却による時間依存的温度変化が輸送係数に与える影響を特定し、定常状態下での長波長不安定性を明らかにする線形安定性解析を実施したことにある。

ABSTRACT

The inelastic Boltzmann equation for a granular gas is applied to spatially inhomogeneous states close to the uniform shear flow. A normal solution is obtained via a Chapman-Enskog-like expansion around a local shear flow distribution. The heat and momentum fluxes are determined to first order in the deviations of the hydrodynamic field gradients from their values in the reference state. The corresponding transport coefficients are determined from a set of coupled linear integral equations which are approximately solved by using a kinetic model of the Boltzmann equation. The main new ingredient in this expansion is that the reference state $f^{(0)}$ (zeroth-order approximation) retains all the hydrodynamic orders in the shear rate. In addition, since the collisional cooling cannot be compensated locally for viscous heating, the distribution $f^{(0)}$ depends on time through its dependence on temperature. This means that in general, for a given degree of inelasticity, the complete nonlinear dependence of the transport coefficients on the shear rate requires the analysis of the {\em unsteady} hydrodynamic behavior. To simplify the analysis, the steady state conditions have been considered here in order to perform a linear stability analysis of the hydrodynamic equations with respect to the uniform shear flow state. Conditions for instabilities at long wavelengths are identified and discussed.

研究の動機と目的

• 輸送係数における非線形剪断率依存性を考慮することで、非平衡状態を超えた粒子性ガスの流体力学理論を拡張すること。
• 非弾性衝突とエネルギー損失（冷却）が非平衡定常状態における輸送挙動に与える影響をモデル化すること。
• 局所的剪断流れ分布を基準状態として、チャップマン＝エンスコーグに類似した展開を用いて輸送係数（熱フラックスおよび運動量フラックス）を導出すること。
• 非弾性エネルギー損失によって引き起こされる長波長不安定性が、均一剪断流れに現れる条件を特定すること。
• 非定常的な粒子エネルギーバランスにかかわらず、定常状態の近似を用いることで、線形安定性に関する洞察を得るための問題の簡略化

提案手法

• 非弾性ボルツマン方程式に対して、局所的剪断流れ分布を基準状態として、チャップマン＝エンスコーグに類似した展開を適用する。
• 零次近似の分布関数 $ f^{(0)} $ は剪断率に完全に依存し、衝突による冷却のため時間に依存して変化する。
• 輸送係数は、流体力学場の勾配の一次に比例する一階の連立線形積分方程式から導出される。
• 輸送係数の積分方程式を近似的に解くために、ボルツマン方程式の運動論的モデルが用いられる。
• 長波長摂動に対する均一剪断流れの安定性を評価するため、定常状態の仮定の下で安定性解析が実施される。
• 非弾性衝突によるエネルギー損失が相殺されないため、基準状態の時間依存性の取り扱いが不可欠である

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非弾性冷却が粘性加熱によって補われない場合、粒子性ガスにおける輸送係数は剪断率にどのように依存するか？
• RQ2 基準状態 $ f^{(0)} $ における時間依存的温度が、輸送係数の決定に果たす役割は何か？
• RQ3 粒子性ガスにおいて、均一剪断流れがどの条件下で長波長で線形不安定化するか？
• RQ4 基準状態 $ f^{(0)} $ に剪断率の完全な依存性を組み込むことで、輸送係数の導出にどのような影響を与えるか？
• RQ5 非定常的な粒子エネルギーバランスを有するにもかかわらず、定常状態近似が意味のある安定性の洞察を提供できるか？

主な発見

• 基準状態 $ f^{(0)} $ は、バランスの取れない衝突による冷却のため時間に依存するため、完全な非線形ケースでは輸送係数が本質的に時間依存となる。
• 輸送係数は、非平衡的な剪断流れ状態を反映する連立線形積分方程式から導出される。
• 解析により、非弾性エネルギー損失によって引き起こされる長波長不安定性が、均一剪断流れに現れる条件が明らかになった。
• 非定常的なエネルギーバランスの本質にもかかわらず、定常状態近似を用いることで、取り扱い可能な線形安定性解析が可能となった。
• $ f^{(0)} $ に剪断率の完全な依存性を組み込むことは、輸送係数の正しい非線形挙動を捉えるために不可欠である。
• 運動論的モデルの手法により、輸送係数を記述する複雑な積分方程式の近似解法が実用的に提供された。