[論文レビュー] Transport Dependency: Optimal Transport Based Dependency Measures

Thomas Giacomo Nies, Thomas Staudt+1 more|arXiv (Cornell University)|May 5, 2021

Statistical Methods and Inference被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、一般のポーランド空間上の確率変数間の統計的独立性を測る、最適輸送に基づく新しい測度「輸送依存度（transport dependency）」を導入する。基礎コスト関数を用いて連携分布を周辺分布の積に変換するコストを定量化することにより、独立性は依存度が0であることで特徴付けられ、解釈性が明確で一貫性のある推定が可能な正規化された相関測度を可能にする。高次元の遺伝子発現データにおいても、非メトリックな類似度測度に対しても頑健な性能を示しており、妥当性が検証されている。

ABSTRACT

Finding meaningful ways to measure the statistical dependency between random variables $ξ$ and $ζ$ is a timeless statistical endeavor. In recent years, several novel concepts, like the distance covariance, have extended classical notions of dependency to more general settings. In this article, we propose and study an alternative framework that is based on optimal transport. The transport dependency $τ\ge 0$ applies to general Polish spaces and intrinsically respects metric properties. For suitable ground costs, independence is fully characterized by $τ= 0$. Via proper normalization of $τ$, three transport correlations $ρ_α$, $ρ_\infty$, and $ρ_*$ with values in $[0, 1]$ are defined. They attain the value $1$ if and only if $ζ= φ(ξ)$, where $φ$ is an $α$-Lipschitz function for $ρ_α$, a measurable function for $ρ_\infty$, or a multiple of an isometry for $ρ_*$. The transport dependency can be estimated consistently by an empirical plug-in approach, but alternative estimators with the same convergence rate but significantly reduced computational costs are also proposed. Numerical results suggest that $τ$ robustly recovers dependency between data sets with different internal metric structures. The usage for inferential tasks, like transport dependency based independence testing, is illustrated on a data set from a cancer study.

研究の動機と目的

• 一般のポーランド空間上での確率変数間の統計的に解釈可能な、距離構造を尊重する依存度測度の開発。
• 適切なコスト関数のもとで、依存度が0であることで統計的独立性が特徴付けられるようにすること。
• 1つの変数が他方の決定的関数である場合にかつその場合にのみ1に達する正規化された相関測度（ρα、ρ∞、ρ∗）の定義。
• 標準的なプラグイン法と比較して計算複雑性が低い、一貫性のある推定器の提供。
• 実世界の推論タスク、特に高次元生物学的データにおける独立性検定への応用の有効性の提示。

提案手法

• 連携分布γと周辺分布の積μ⊗νの間の最適輸送コストとして、輸送依存度τ(γ) = T_c(γ, μ⊗ν)を提案。
• X×Y 上の基礎コスト関数cを用いて輸送コストを定義し、γ=μ⊗ν（独立性）である場合にかつその場合にのみτ=0となる。
• 3種類の正規化された相関測度を定義：ρα（αリプシッツ関数）、ρ∞（可測関数）、ρ∗（等長写像関数）、いずれも[0,1]の範囲に収まる。
• τの経験的プラグイン推定器を導入し、一貫性の保証を付与。さらに、同じ収束速度を維持しながら計算コストを低減する代替推定器を提案。
• 交換可能性下での帰無分布を活用し、τを用いたパーミュテーション検定による独立性検定を適用。
• 入力空間Xでは非メトリックな類似度（例：遺伝子発現相関κ）をコスト関数とし、応答変数Yでは絶対差を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 最適輸送を用いて、距離構造を内蔵的に尊重し、τ=0により独立性が特徴付けられる依存度測度を定義できるか？
• RQ2 輸送依存度をどのように正規化すれば、[0,1]に収まり、関数的依存関係の解釈が明確な相関係数が得られるか？
• RQ3 一貫性のある経験的推定器と、同じ収束速度を維持するが計算コストが低い代替手法との間の計算的トレードオフは何か？
• RQ4 遺伝子発現プロファイルのような高次元で非メトリックなデータにおいて、輸送依存度は意味のある依存関係を検出できるか？
• RQ5 複雑な生物学的データにおける構造的依存関係を検出する際、距離相関や相互情報量といった既存の測度と比較して、本手法は優れているか？

主な発見

• コスト関数が距離関数である限り、輸送依存度τは変数が統計的に独立である場合にかつその場合にのみ0となる。
• 正規化された相関ρα、ρ∞、ρ∗は、それぞれφがαリプシッツ関数、可測関数、等長写像関数である場合にかつその場合にのみ1に達する。
• 経験的プラグイン推定を用いたτの推定は一貫性を有し、代替推定器により計算コストを低減しつつも同じ収束速度を維持できる。
• 乳癌遺伝子発現データセットにおいて、τはエストロゲン受容体状態（τ=0.630、p=0.001）および転移（τ=0.378、p=0.006）との強い依存関係を検出したが、血管侵襲（p=0.220）については独立性を棄却できなかった。
• 非メトリックな類似度測度を用いた高次元空間においても、本手法は構造的依存関係を的確に同定でき、距離構造を必要とする手法を上回る性能を示した。
• 数値実験（r=5000、n<100）により、多様な内部距離構造に対しても、輸送依存度は頑健に依存関係を回復することが示された。