[論文レビュー] Transportation-information inequalities for Markov processes (II) : relations with other functional inequalities

Arnaud Guillin, Christian Léonard+2 more|ArXiv.org|Feb 12, 2009

Point processes and geometric inequalities参考文献 22被引用数 24

ひとこと要約

本稿は、マルコフ過程における輸送情報不等式 $W_pI$ と他の関数不等式との間の関係を確立し、$W_pI$ が古典的輸送エントロピー不等式 $W_pH$ および関連する濃度の性質を含むことを証明する。さらに $W_1I$ がスペクトルギャップおよびチーレ型等周問題に結びつき、テスト関数の可積分性条件の下で $\Phi$-Sobolev 不等式が $W_pI$ を含むことを示す。

ABSTRACT

We continue our investigation on the transportation-information inequalities $W_pI$ for a symmetric markov process, introduced and studied in \cite{GLWY}. We prove that $W_pI$ implies the usual transportation inequalities $W_pH$, then the corresponding concentration inequalities for the invariant measure $μ$. We give also a direct proof that the spectral gap in the space of Lipschitz functions for a diffusion process implies $W_1I$ (a result due to \cite{GLWY}) and a Cheeger type's isoperimetric inequality. Finally we exhibit relations between transportation-information inequalities and a family of functional inequalities (such as $Φ$-log Sobolev or $Φ$-Sobolev).

研究の動機と目的

• 対称マルコフ過程の文脈における $W_pI$ 不等式の意味を明確にし、古典的関数不等式との関係を確立すること。
• $W_pI$ が標準的 $W_pH$ 輸送エントロピー不等式および不変測度 $\mu$ に対する関連する濃度の性質を含むことを確立すること。
• リーマン空間上のリーマン関数のスペクトルギャップが $W_1I$ を含むことを示し、これによりチーレ型等周問題を導出すること。
• テスト関数の適切な可積分性条件の下で、$\Phi$-Sobolev 不等式が $W_pI$ を含むことを示すこと。
• 大偏差と凸共役に基づく共通の枠組みを用いて、$W_pI$、$W_pH$、$\Phi$-Sobolev、および Orlicz-Poincaré 不等式を統一すること。

提案手法

• 大偏差技術を用いて、生成子 $\mathcal{L}$ および Legendre-Fenchel 変換 $\alpha^*$ におけるスペクトル境界を用いて $\alpha$-$T_{\mathcal{V}}I$ 不等式を特徴付ける。
• 相対エントロピーおよびフィッシャー情報の変分表現を適用し、$I(\nu|\mu)$ を用いて $W_p(\nu,\mu)$ の境界を導出する。
• Orlicz 空間におけるコーシー・シュワルツおよび Hölder 不等式を用いて、$\Phi$-Sobolev および Poincaré の仮定の下で $\int |f-1|u\,d\mu$ を制御する。
• $\alpha$-$T_{\mathcal{V}}I$ と過程の時間平均的関数の逸脱境界 (1.6) の等価性に依拠する。
• $\Psi$-Orlicz ノルムと $\Phi$-Sobolev 不等式の双対性を用いて、$\mu$ における $u^p$ の可積分性から $W_pI$ を導出する。
• $W_p^p(\nu,\mu) \leq 2^{p-1}\|d(\cdot,x_0)^p(\nu-\mu)\|_{TV}$ の境界を適用し、$W_p$ 距離を全 Variation ノルムに関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $W_pI$ 不等式は、古典的 $W_pH$ 輸送エントロピー不等式を含むか？
• RQ2 リーマン関数空間におけるスペクトルギャップが、拡散過程の $W_1I$ を導出可能か？
• RQ3 テスト関数の可積分性条件の下で、$\Phi$-Sobolev 不等式と $W_pI$ 不等式の関係は何か？
• RQ4 $W_pI$ 不等式は、マルコフ過程の加法的関数の濃度の性質および逸脱境界とどのように関係するか？
• RQ5 凸共役 $\alpha^*$ は、スペクトル境界を用いて $\alpha$-$T_{\mathcal{V}}I$ 不等式を特徴付ける際に果たす役割は何か？

主な発見

• $W_pI$ は $W_pH$ 輸送エントロピー不等式を含む。つまり、すべての $\nu$ に対して $W_p(\nu,\mu)^2 \leq 2C H(\nu|\mu)$ が成り立つ。
• リーマン関数空間におけるスペクトルギャップは $W_1I$ を含む。すなわち、$W_1(\nu,\mu)^2 \leq 4C^2 I(\nu|\mu)$ が成り立ち、直接的な証明が提示されている。
• $W_1I$ からチーレ型等周問題が導出され、幾何的等周問題と関数不等式が結びつく。
• $\Phi$-Sobolev および Poincaré 不等式の下で、すべての $\nu$ に対して $W_p^p(\nu,\mu) \leq \sqrt{C_1' I(\nu|\mu)^2 + C_2' I(\nu|\mu)}$ が成り立つ。
• $p \geq 2$ のとき、ある $\kappa > 0$ に対して $\kappa([1+W_2(\nu,\mu)^4]^{p/4} - 1) \leq I(\nu|\mu)$ が成り立ち、$W_2$ 距離がフィッシャー情報と関連づけられる。
• $d^p(\cdot,x_0) \in L^\Psi(\mu)$ かつ $\Psi$ が $\Phi$ の共役であるとき、$\Phi$-Sobolev および Poincaré 不等式から $W_pI$ 不等式が導かれる。