[論文レビュー] Transposed Poisson algebras, Novikov-Poisson algebras and 3-Lie algebras

Chengming Bai, Ruipu Bai+2 more|arXiv (Cornell University)|May 3, 2020

Advanced Topics in Algebra参考文献 38被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、Poisson代数の双対構造として、可換結合的積とLie括弧の役割を入れ替えた、スケーリングされた転置Leibniz則で定義される転置Poisson代数を導入する。主な貢献は、Novikov-Poisson代数から交換子構成を用いて転置Poisson代数が自然に生じることであり、強さ条件を必要としないより強い3-Lie代数構成が可能になることである。これにより、主な2つの構成プロセスにおいて、転置Poisson 3-Lie代数が得られる。

ABSTRACT

We introduce a dual notion of the Poisson algebra by exchanging the roles of the two binary operations in the Leibniz rule defining the Poisson algebra. We show that the transposed Poisson algebra thus defined not only shares common properties of the Poisson algebra, including the closure under taking tensor products and the Koszul self-duality as an operad, but also admits a rich class of identities. More significantly, a transposed Poisson algebra naturally arises from a Novikov-Poisson algebra by taking the commutator Lie algebra of the Novikov algebra. Consequently, the classic construction of a Poisson algebra from a commutative associative algebra with a pair of commuting derivations has a similar construction of a transposed Poisson algebra when there is one derivation. More broadly, the transposed Poisson algebra also captures the algebraic structures when the commutator is taken in pre-Lie Poisson algebras and two other Poisson type algebras. Furthermore, the transposed Poisson algebra improves two processes in~[17] that produce 3-Lie algebras from Poisson algebras with a strongness condition. When transposed Poisson algebras are used in one process, the strongness condition is no longer needed and the resulting 3-Lie algebra gives a transposed Poisson 3-Lie algebra. In the other process, the resulting 3-Lie algebra is shown to again give a transposed Poisson 3-Lie algebra.

研究の動機と目的

• Leibniz則における可換結合的積とLie括弧の役割を入れ替えることにより、Poisson代数の双対構造を定義し、研究すること。
• 転置Poisson代数がテンソル積の下で閉じており、オペラッドとしてのKoszul自己双対性を有することを確立すること。
• Novikov-Poisson代数におけるNovikov積の交換子構成によって、転置Poisson代数が自然に生じることを示すこと。
• Poisson代数から3-Lie代数を構成する2つの既知の方法を、強さ条件を不要にする形で改善すること。
• これらの構成によって得られる3-Lie代数が、元のPoisson代数が強さ条件を満たさない場合でも、常に転置Poisson 3-Lie代数であることを証明すること。

提案手法

• ベクトル空間 $L$ のすべての $x,y,z$ に対して $2z\cdot[x,y] = [z\cdot x,y] + [x,z\cdot y]$ を満たす転置Leibniz則を導入し、これにより転置Poisson代数を定義する。
• Novikov-Poisson代数におけるNovikov代数の交換子が転置Poisson代数を生成することを示し、既知の代数的構造と関連づける。
• 導分を用いて転置Poisson代数から3-Lie代数を構成し、得られる三重演算が3-Lie代数の公理を満たすことを証明する。
• 公式 $[x,y,z] = \mathrm{Id} \wedge D_1 \wedge D_2(x,y,z)$ を用いた3-Lie代数の構成が、強さ条件を要しないまま転置Poisson 3-Lie代数を生成することを示す。
• 元のPoisson代数が弱い条件（式(7)）を満たす場合でも、3-Lie代数の構成が依然として転置Poisson 3-Lie代数を生成することを証明する。
• オペラッド双対性および圏論的性質を用いて、転置Poisson代数がPoisson代数とは独立しており、オペラッドとして自己双対的であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Leibniz則における可換結合的積とLie括弧の役割を入れ替えることにより、Poisson代数の双対概念を定義できるか？
• RQ2 Novikov-Poisson代数におけるNovikov代数の交換子は、転置Poisson代数を生成するか？
• RQ3 元のPoisson代数に強さ条件を要しないで、転置Poisson代数から3-Lie代数を構成できるか？
• RQ4 このような構成によって得られる3-Lie代数は、必然的に転置Poisson 3-Lie代数であるか？
• RQ5 三重組 $(L,\cdot,[\;,\;,\;])$ がPoisson 3-Lie代数であり、かつ転置Poisson 3-Lie代数であるための条件は何か？

主な発見

• 転置Poisson代数は、$2z\cdot[x,y] = [z\cdot x,y] + [x,z\cdot y]$ という相性条件により定義され、標準的なPoisson代数とは逆に、二つの演算の役割を入れ替えている。
• 転置Poisson代数はテンソル積の下で閉じており、オペラッドとしてのKoszul自己双対性を有し、Poisson代数の重要な性質を模倣している。
• Novikov-Poisson代数におけるNovikov積の交換子は、転置Poisson代数を生成し、重要な代数的構造と自然な関係を確立する。
• 導分を用いた転置Poisson代数からの3-Lie代数の構成は、もはや強さ条件を必要とせず、従来の結果を一般化する。
• 元のPoisson代数が強さ条件を満たさない場合でも、この構成によって得られる3-Lie代数は、転置Poisson 3-Lie代数であることが示された。
• 三重組 $(L,\cdot,[\;,\;,\;])$ が転置Poisson 3-Lie代数であるための必要十分条件は、すべての混合積 $u\cdot[x,y,z]$ および $[u\cdot x,y,z]$ が消えることである。これは、それが同時にPoisson 3-Lie代数であるための必要十分条件である。