[論文レビュー] Transversal Twistor Spaces of Foliations

Izu Vaisman|ArXiv.org|Nov 6, 1999

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 9被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、余次元が偶数であるfoliation Fに対して、Bott接続を用いてtwistor bundle ZF 上のfoliation F' を構成する横断的twistor空間を導入する。誘導されたほぼ複素構造 I の可積分性は、横断的射影構造の平坦性に対応するが、J は常に非可積分である。I や J が F の葉の空間に投影可能であるためには、foliation F に対して追加の幾何学的およびコhomological 条件が必要である。

ABSTRACT

The transversal twistor space of a foliation F of an even codimension is the bundle ZF of the complex structures of the fibers of the transversal bundle of F. On ZF, there exists a foliation F' by covering spaces of the leaves of F, and any Bott connection of F produces an ordered pair (I,J) of transversal almost complex structures of F'. The existence of a Bott connection which yields a structure I that is projectable to the space of leaves is equivalent to the fact that F is a transversally projective foliation. A Bott connection which yields a projectable structure J exists iff F is a transversally projective foliation which satisfies a supplementary cohomological condition, and, in this case, I is projectable as well. J is never integrable. The essential integrability condition of I is the flatness of the transversal projective structure of F.

研究の動機と目的

• 余次元が偶数であるfoliation F の横断的twistor空間 ZF を定義し、その性質を調査すること。
• Bott接続から生じる ZF 上の誘導されたfoliation F' を分析すること。
• F' 上の横断的ほぼ複素構造 I および J が、F の葉の空間に投影可能であるための条件を特定すること。
• I の可積分性および J の非可積分性を、F の幾何学的およびコhomological 特性を用いて特徴付けること。
• 横断的射影構造の平坦性と I の可積分性の間の正確な対応関係を確立すること。

提案手法

• F の横断的バンドルの各ファイバー上の複素構造のバンドルとして、横断的twistor空間 ZF を構成する。
• F の葉の被覆空間を用いて、F を ZF 上のfoliation F' に上げる。
• F のBott接続を用いて、F' 上の横断的ほぼ複素構造の順序対 (I, J) を誘導する。
• 幾何学的およびコhomological の基準を用いて、I および J が F の葉の空間に投影可能かどうかを分析する。
• I が可積分であることは、F の横断的射影構造が平坦であることと同値であることを確立する。
• J は、foliation の性質にかかわらず、常に非可積分であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 F' 上の横断的ほぼ複素構造 I が、F の葉の空間に投影可能となる条件は何か？
• RQ2 F に定義されたBott接続が、F' 上で投影可能な構造 J をもたらすのはいつか？
• RQ3 I の可積分性と F の横断的射影構造の平坦性との間にはどのような関係があるか？
• RQ4 なぜ構造 J は F' 上で常に非可積分なのか？
• RQ5 F に課される幾何学的およびコhomological 条件は、誘導された構造 I および J の存在性および性質にどのように影響するか？

主な発見

• Bott接続が投影可能な I を与えることと、F が横断的に射影的foliation であることとは同値である。
• Bott接続が投影可能な J を与えることは、F が横断的に射影的であり、さらに追加のコhomological 条件を満たすときかつそのときに限る。
• このような J が存在するとき、構造 I に対しても投影可能性が成り立つ。
• 構造 I が可積分であることと、F の横断的射影構造が平坦であることとは同値である。
• 構造 J は、foliation の性質にかかわらず、常に非可積分である。
• 横断的twistor空間 ZF は、その葉の被覆空間を通じて F の幾何を引き上げるfoliation F' を持つ。