[論文レビュー] Transversalit\\'e quantitative en g\\'eom\\'etrie symplectique : sous-vari\\'et\\'es et hypersurfaces

Jean-Paul Mohsen|arXiv (Cornell University)|Jul 2, 2013

Geometric Analysis and Curvature Flows被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、ほぼケーラー多様体上の正のラインバンドルの近似的に正則な切断に対して、定量的相対横断性定理を確立する。これは、ドナルドソン＝アウロウスの基礎的結果を部分多様体へと拡張したものである。重み付き横断性モジュールを導入し、十分大きなテンソル巾に対して、任意の制御された近似的に正則な切断を、コンパクト部分多様体に沿って一様に横断的になるように摂動可能であることを証明した。横断性モジュールおよび摂動の大きさについて明示的な定量的制御が得られ、シンプレクティックおよび接触幾何学における既知の結果の新たな証明が可能になる。

ABSTRACT

Le th\\'eor\\`eme principal de cet article est un r\\'esultat de transversalit\\'e quantitative relatif \\`a une sous-vari\\'et\\'e. The main theorem of this paper is a result of estimated transversality with respect to a given submanifold.

研究の動機と目的

• ドナルドソン＝アウロウスの定量的横断性定理を、全体的ではなくコンパクト部分多様体に沿って横断性が要求される相対的状況に拡張すること。
• 摂動理論における定量的制御に不可欠な、セクションの大きさと微分の上への全射性のバランスを取る重み付き横断性モジュールを定義・分析すること。
• アウロウス（1997年）の横断的切断に関する一意性結果を、元々の「大きな連結成分」の議論を避けて、直接的な摂動法による証明を提供すること。
• 実超曲面の場合に特化することで、イボルト＝マルティネス＝トーレス＝プレサスの接触幾何学的結果を系として回復・一般化すること。
• 微分の制御と近似的に正則性の欠損が繰り返しの過程で保たれるように、定量的摂動スキームを確立すること。

提案手法

• 重み付き横断性モジュールを MT(s, x; a, b) = max{a||s(x)||, b·MS(∇s(x))} と定義する。ここで MS は微分の全射性を測る。
• s と ∂̄s のジャンルノルムに対する一様な有界性を用いて、(K, m_max)-制御されたおよび (K, m_max)-近似的に正則な切断を定義する。
• 再帰的摂動スキームを用いる：t_i = t_{i-1} + u_i とし、u_i を F_i に台を持つセクションの局所的和とする。
• ベルグマン核に基づく局所モデルと分区画を用いることで、摂動 u_i がノルムが小さく、各段階で所望の横断性を達成することを保証する。
• MS ノルムの 1-リプシッツ性を活用し、摂動の累積的効果が横断性モジュールに与える影響を制御する。
• 部分多様体 Y を、分離と被覆性が制御された集合 F_i への有限分割に分け、その上での帰納法を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ドナルドソン＝アウロウスの横断性定理は、全体的ではなく部分多様体に沿ってのみ横断性が要求される場合に拡張可能か？
• RQ2 このような相対的状況において、横断性モジュールおよび摂動の大きさに対する最適な定量的制御は何か？
• RQ3 横断的切断に関する一意性結果（アウロウス、1997年）は、トポロジー的連結性の議論を避けて、直接的な摂動法によって再証明可能か？
• RQ4 相対的横断性定理は、イボルト、マルティネス＝トーレス、プレサス（2000年）の接触幾何学的結果を含意するか？
• RQ5 微分の制御と近似的に正則性の条件を保ちながら、摂動プロセスをどのように繰り返し適用できるか？

主な発見

• 任意のコンパクト部分多様体 Y ⊂ X に対して、任意の (K,2)-制御的かつ (K,1)-近似的に正則な切断 s は、(ε, m_max)-制御的かつ (ε, m_max)-近似的に正則な切断 t により摂動可能であり、Y に沿って重み付き横断性モジュール MT(s+t; 1, k^{-1/2}) が η > 0 で一様に下から押さえられる。
• 摂動 t は、有限集合 G_{n_D} に台を持つセクションの有限和として明示的に構成され、係数のノルムが ≤ ε_i であるため、摂動が小さく保たれる。
• 下界 η は k とは無関係に、ε, K, m_max, r および X, L, Y の幾何学的構造にのみ依存するが、k ≥ k_0 のとき成立する。
• 証明により、帰納的構成の各段階で横断性モジュール MT(s+t; 1, k^{-1/2}) が少なくとも η_i/2 以上であることが示され、最終的に一様な下界 η_{n_D} が得られる。
• この結果により、横断的切断の空間の連結性に依存しない、アウロウスの一意性定理の証明が可能になる。
• 実超曲面に特化し、レヴィ分布を用いることで、イボルト、マルティネス＝トーレス、プレサスの接触部分多様体構成定理が系として得られる。