[論文レビュー] Transversality in Dynamical Systems with Generalized Symmetry

Eddie Nijholt, Bob Rink|arXiv (Cornell University)|Oct 19, 2017

Topological and Geometric Data Analysis参考文献 5被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、モノイド対称性を有する力学系において、一般化された核および中心部分空間のタイプを導入することで、一般化された分岐条件を確立する。k パrameter の分岐が部分表現 U 沿いに発生するためには、k が K_U（一般化核の場合）または C_U（中心部分空間の場合）以上でなければならないことが示され、これらの閾値は U の不定値分解にのみ依存する。本結果は、非群的対称性、特にモノイドや半群を含む、古典的な等化分岐理論を一般化する。

ABSTRACT

We prove that a generic $k$-parameter bifurcation of a dynamical system with a monoid symmetry occurs along a generalized kernel or center subspace of a particular type. More precisely, any (complementable) subrepresentation $U$ is given a number $K_U$ and a number $C_U$. A $k$-parameter bifurcation can generically only occur along a generalized kernel isomorphic to $U$ if $k \geq K_U$. It can generically only occur along a center subspace isomorphic to $U$ if $k \geq C_U$. The numbers $K_U$ and $C_U$ depend only on the decomposition of $U$ into indecomposable subrepresentations. In particular, we prove that a generic one-parameter steady-state bifurcation occurs along one absolutely indecomposable subrepresentation. Likewise, it follows that a generic one-parameter Hopf bifurcation occurs along one indecomposable subrepresentation of complex or quaternionic type, or along two isomorphic absolutely indecomposable subrepresentations. In order to prove these results, we show that the set of endomorphisms with generalized kernel (or center subspace) isomorphic to $U$ is the disjoint union of a finite set of conjugacy invariant submanifolds of codimension $K_U$ and higher (or $C_U$ and higher). The results in this article hold for any monoid, including non-compact groups.

研究の動機と目的

• 古典的な分岐理論をコンパクトなリー群を超えてモノイド対称性へと拡張すること。
• 一般化された対称性を有する系における一般的 k パrameter 分岐の必要条件を同定すること。
• 部分表現 U に対して K_U および C_U を定義し、計算すること。
• 一般的1パラメータ定常状態分岐が絶対的に不定値部分表現に沿って発生することを証明すること。
• 一般的1パラメータホップ分岐が複素数型またはクaternion的不定値部分表現、または2つの同型な実数型の部分表現に沿って発生することを示すこと。

提案手法

• 特定のスペクトル的および対称性的性質を持つ不変部分空間として、一般化された核および中心部分空間を定義する。
• 部分表現 U 沿いの分岐に必要な最小パラメータ数 K_U および C_U を導入する。
• 表現論を用いて U を不定値成分に分解し、それらの型（実数型、複素数型、クaternion的型）から K_U および C_U を計算する。
• 一般化された核または中心部分空間が U に同型であるような自己準同型の集合が、少なくとも K_U または C_U の余次元を持つ、共役不変な部分多様体の互いに素な和集合であることを証明する。
• 横断性の議論を用いて、一般的分岐が k ≥ K_U または k ≥ C_U のときのみ発生することを示す。
• 共役および指数写像を用いて、軌道空間内の列の収束を分析し、仮定が満たされない場合に矛盾を導く。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 モノイド対称性を持つ系において、与えられた部分表現 U 沿いに一般的分岐が発生するための最小パラメータ数は何か？
• RQ2 K_U および C_U は、U の不定値部分表現への分解にどのように依存するか？
• RQ3 なぜ一般的1パラメータ定常状態分岐は絶対的に不定値部分表現に沿ってのみ発生するのか？
• RQ4 どのようなタイプの部分表現が一般的1パラメータホップ分岐を支えるか？
• RQ5 対称性モノイドの構造は、分岐多様体の余次元にどのように影響するか？

主な発見

• 一般的 k パラメータ分岐は、一般化された核が U に同型である場合にのみ、k ≥ K_U のとき発生可能であり、K_U は U の不定値分解にのみ依存する。
• 一般的 k パラメータ分岐は、中心部分空間が U に同型である場合にのみ、k ≥ C_U のとき発生可能であり、C_U も同様に U の不定値成分に依存する。
• 1パラメータ定常状態分岐では、一般的ケースは単一の絶対的に不定値部分表現に沿って発生する。
• 1パラメータホップ分岐では、一般的ケースは、複素数型またはクaternion的型の1つの不定値部分表現、または2つの同型な絶対的に不定値部分表現に沿って発生する。
• 一般化された核（または中心部分空間）が U に同型である自己準同型の集合は、少なくとも K_U（または C_U）の余次元を持つ、共役不変な部分多様体の互いに素な和集合である。
• 本結果は任意のモノイドに対して成り立ち、非コンパクト群を含むが、古典的なコンパクトリー群の結果をより広い対称性構造へ一般化する。