[論文レビュー] Transverse conformal Killing forms and a Gallot-Meyer Theorem for foliations

Seoung Dal Jung, Ken Richardson|ArXiv.org|May 27, 2008

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 4被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、$C$-正の法曲率をもつリーマン的フォリエーション上における横断的共形キリング形式のGallot-Meyer型スペクトル不等式を確立する。閉じた基本的1次形式$φ$が$Δ_B\phi = qC\phi$を満たすならば、フォリエーションは$q$-球面の有限部分群による商に横断的に等長的であることが示され、横断的微分幾何と基本的ラプラシアン解析を用いて、古典的なObata型剛性結果をフォリエーションの文脈へと拡張する。

ABSTRACT

We study transverse conformal Killing forms on foliations and prove a Gallot-Meyer theorem for foliations. Moreover, we show that on a foliation with $C$-positive normal curvature, if there is a closed basic 1-form $ϕ$ such that $Δ_Bϕ=qCϕ$, then the foliation is transversally isometric to the quotient of a $q$-sphere.

研究の動機と目的

• リーマン的フォリエーションに於いて$C$-正の法曲率をもつ場合に、Gallot-Meyer定理を拡張すること。
• フォリエーション多様体上における横断的共形キリング形式およびそのスペクトル的性質を研究すること。
• 基本的ラプラシアンの固有値と横断的幾何の間の剛性結果を確立すること。
• 基本的形式のスペクトル的条件によって、フォリエーションが横断的に球面に等長的である条件を特定すること。

提案手法

• 横断的Levi-Civita接続とツイスター作用素を含む、1次の変形された方程式を満たす基本的微分形式として横断的共形キリング形式を定義する。
• 基本的ラプラシアン$\Delta_B$を基本的微分形式に作用させ、曲率仮定のもとでのスペクトルギャップを分析する。
• Meyerの定理の修正版を適用し、$d_B\phi=0$または$\delta_B\phi=0$の有無に応じて、$\Delta_B$の固有値の下界を導出する。
• タイトネス定理を用いて、一般性を失わず平均曲率$\kappa=0$を仮定できるため、曲率推定を簡略化する。
• 閉じた基本的1次形式$\phi$が$\Delta_B\phi = qC\phi$を満たすならば、そのフォリエーションは$q$-球面の$O(q)$の有限部分群による商に横断的に等長的であることを証明する。
• フォリエーションにおける一般化されたObata定理を用いて、スペクトルデータとグローバルな横断的幾何を結びつける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 横断的曲率にどのような条件を課すと、フォリエーション上での基本的ラプラシアンがスペクトルギャップをもつのか。
• RQ2 フォリエーション多様体上における横断的共形キリング形式に対して、Gallot-Meyer型の固有値推定を確立できるか。
• RQ3 $C$-正の法曲率のもとで、閉じた基本的1次形式が最小固有値$qC$に達するとき、どのような幾何的構造が生じるか。
• RQ4 定数$\beta$をもつ特別な横断的キリング形式は、曲率およびスペクトル的性質とどのように関係するか。
• RQ5 フォリエーションに対して、Obata剛性定理の横断的類似は存在するか。

主な発見

• 任意の基本的$r$-形式$\phi$（$1 \leq r \leq q-1$）に対して、$d_B\phi = 0$のとき固有値$\lambda_B$は$\lambda_B \geq r(q-r+1)C$を満たし、$\delta_B\phi = 0$のとき$\lambda_B \geq (r+1)(q-r)C$を満たす。
• 閉じた基本的1次形式$\phi$が$\Delta_B\phi = qC\phi$を満たし、フォリエーションが$C$-正の法曲率をもつならば、そのフォリエーションは$O(q)$の有限部分群による$q$-球面の商に横断的に等長的である。
• 定数$\beta$をもつ特別な横断的キリング$r$-形式は$\beta \leq -(r+1)C$を満たし、横断的截曲率が定数$C$であるとき等号が成立する。
• 横断的曲率が定数$C$であるとき、すべての横断的キリング$r$-形式は特別であり、$\beta = -(r+1)C$を満たす。
• 基本的ラプラシアンは$L^2$-形式の基本的成分と非基本的成分への分解を保存し、$\kappa=0$を保つメトリック変更のもとでスペクトル推定は不変である。
• 証明は、基本的ラプラシアンと横断的メトリックを保ちつつ平均曲率形式を消去するように、バンドル型メトリックを変更することに依拠しており、これにより曲率推定の適用が可能になる。