[論文レビュー] Transverse Dynamics and Regions of Stability for Nonlinear Hybrid Limit Cycles

Ian R. Manchester|arXiv (Cornell University)|Oct 11, 2010

Robotic Locomotion and Control参考文献 21被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、非線形ハイブリッド極限循環の吸引領域の内部推定を計算するための新規なアルゴリズムを提示する。この手法は、横断的ダイナミクスを構築し、Lyapunov関数による軌道安定性の検証に和の平方（SOS）最適化を用いる。本手法により、複雑なシステム、特にハイブリッドおよびアンダーアクチュエーテッドロボットを含む周期軌道の安定領域を、保守的かつ計算的に扱いやすい方法で推定可能となり、制御および運動計画に応用可能である。

ABSTRACT

This paper presents an algorithm for computing inner estimates of the regions of attraction of limit cycles of a nonlinear hybrid system. The basic procedure is: (1) compute the dynamics of the system transverse to the limit cycle; (2) from the linearization of the transverse dynamics construct a quadratic candidate Lyapunov function; (3) search for a new Lyapunov function verifying maximal regions of orbital stability via iterated of sum-of-squares programs. The construction of the transverse dynamics is novel, and valid for a broad class of nonlinear hybrid systems. The problem of stabilization of unstable limit cycles will also be addressed, and a solution given based on stabilization of the transverse linearization.

研究の動機と目的

• 非線形ハイブリッド極限循環の周囲における内部吸引領域を推定する構築的かつ実用的な手法の開発を目的とする。これは動的システムにおける制御および運動計画において極めて重要である。
• 極限循環の全状態空間における安定領域を特徴づける課題に取り組む。通常、Poincaré写像や線形化による局所的解析に限られるが、本研究ではその限界を克服する。
• ラグランジュ形式や区分線形構造に依存しない広範な非線形ハイブリッドシステムクラスに対し、横断的ダイナミクスの構築を拡張する。
• 不安定な周期軌道のためのフィードバック制御則設計を可能にする。具体的には、横断的線形化を安定化することで、指数的軌道安定性を保証する。
• 高次元システムに適用可能な、スケーラブルで数値的に取り扱いやすいフレームワークを提供する。和の平方プログラミングを用いて安定性の検証を実現する。

提案手法

• 極限循環に沿った移動座標系を定義することで横断的ダイナミクスを構築する。軌道に直交する時変ベクトル場 $ z( au) $ を用い、状態のずれを射影する。
• 横断的ダイナミクス方程式 $ \frac{d x_\bot}{dt} = A(\tau) x_\bot + h(x_\bot, \tau) $ を導出する。ここで $ A(\tau) $ は横断的線形化であり、局所的安定性解析を可能にする。
• 線形化された横断的ダイナミクスに基づき、二次の候補Lyapunov関数を構築し、安定領域の初期推定値とする。
• 反復的な和の平方（SOS）最適化を適用し、Lyapunov関数を精緻化する。これにより、正定性を保証する半正定値プログラミングを用いて、軌道安定性領域を最大化する。
• 横断的ベクトル場 $ z(\tau) $ を、横断的ずれのノルムの逆数を最小化する滑らかで凸でない最適化問題により最適化する。これには、横断性およびハイブリッドシステムにおけるスイッチング面への整合性を保証する制約を含む。
• ハイブリッドシステムにおける衝突面への整合性を確保するため、形状関数 $ \rho(\tau) $ を用いる。これにより、不連続点における横断座標が適切に定義される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 高次元状態空間における非線形ハイブリッド極限循環の保守的かつ内部的な吸引領域をどのように計算できるか？
• RQ2 一般的な非線形ハイブリッドシステム（インパクトや非ラグランジュ的構造を含む）に対して、横断的ダイナミクスを体系的に構築する方法は何か？
• RQ3 和の平方プログラミングを用いて、局所線形化を超えた軌道安定性領域の検証および拡大は、実際に有効に可能か？
• RQ4 横断的ダイナミクスフレームワークは、不安定な周期軌道のための安定化フィードバック制御則設計にどのように適応できるか？
• RQ5 どのような最適化戦略が、特異点を避けて安定領域推定値を改善する、ロバストで適切に定式化された横断座標の選択を保証するか？

主な発見

• 提案手法は、非線形ハイブリッド極限循環の軌道安定性領域の内部推定を成功裏に計算可能である。具体的には、ヴァン・デル・ポール振動子、リムレスホイール、コンパス・ゲート・ウォーカーなどに適用可能である。
• 横断的ダイナミクスの構築は、インパクトを伴うシステムを含む広範なシステムクラスに対して解析的に有効であり、ラグランジュ形式などの特別な構造的仮定を必要としない。
• 和の平方緩和法を用いることで、半正定値プログラミングによる効率的計算が可能となり、閉形式解が困難な非自明なシステムへのスケーラビリティが達成される。
• 高次ノルム（例：$ p=10 $ から $ 100 $）を用いた横断的ベクトル場 $ z(\tau) $ の最適化により、滑らかで適切に定式化された問題が得られ、$ L^\infty $-ノルムの挙動を近似し、特異点を回避する。
• 横断的線形化の安定化により、フィードバック制御を用いて不安定な極限循環を安定化可能であり、その閉ループ安定領域は同じフレームワークで解析可能である。
• 特に高次元システムにおいて、グリッドベースやセル・ツー・セルマッピング手法に比べ、計算効率およびスケーラビリティにおいて優れている。