[論文レビュー] Transverse foliations on the torus $\T^2$ and partially hyperbolic diffeomorphisms on 3-manifolds

Christian Bonatti, Jinhua Zhang|arXiv (Cornell University)|Feb 13, 2016

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 6被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、2次元トーラスの微分同相群に属する非自明なループが、2つの$C^1$foliation間の横断的関係を保つことの存在を示すことにより、3次元多様体上での部分的双曲的微分同相写像の構成に向けた位相的条件を確立する。主な結果は、2つのfoliationが横断的であり、かつ平行なコンパクトな葉を持たないか、あるいはそれらが適合するホモトピー類に属する場合には、そのようなループが存在することを示しており、これによりBPPの構成が非推移的Anosovフローへ一般化可能となる。Dehnねじりを用いることで、任意の非推移的Anosovフローに対して一般化が可能である。

ABSTRACT

In this paper, we prove that given two $C^1$ foliations $\mathcal{F}$ and $\mathcal{G}$ on $\mathbb{T}^2$ which are transverse, there exists a non-null homotopic loop $\{Φ_t\}_{t\in[0,1]}$ in $\diff^{1}(\T^2)$ such that $Φ_t(\calF)\pitchfork \calG$ for every $t\in[0,1]$, and $Φ_0=Φ_1= Id$. As a direct consequence, we get a general process for building new partially hyperbolic diffeomorphisms on closed $3$-manifolds. \cite{BPP} built a new example of dynamically coherent non-transitive partially hyperbolic diffeomorphism on a closed $3$-manifold, the example in \cite{BPP} is obtained by composing the time $t$ map, $t>0$ large enough, of a very specific non-transitive Anosov flow by a Dehn twist along a transverse torus. Our result shows that the same construction holds starting with any non-transitive Anosov flow on an oriented $3$-manifold. Moreover, for a given transverse torus, our result explains which type of Dehn twists lead to partially hyperbolic diffeomorphisms.

研究の動機と目的

• BPPの具体的な例を超えて、3次元多様体上での部分的双曲的微分同相写像の構成を一般化すること。
• 横断的トーラスに沿ったDehnねじりが部分的双曲性を保つための位相的基準を確立すること。
• 2つの横断的$C^1$foliation間の横断的関係を保つ、Diff¹(T²)内のループのホモトピー類を同定すること。
• 非推移的Anosovフローの時間1写像とDehnねじりを用いた、強力に力学的整合的かつ絶対的（完全）部分的双曲的微分同相写像を構築する一般枠組みを提供すること。

提案手法

• 定理Aを、平行なコンパクトな葉を持たないfoliationと持つfoliationの2つの場合に分けて証明する。
• 平行な葉がない場合、T²上のアフィン座標を用いて、平行移動が横断的関係を保つことを示し、所望のホモトピー類を持つループを構成する。
• 平行な葉がある場合、foliationが定数の錐によって分離される縦向きのアニュラスにT²を分解し、縦方向の平行移動を用いてループを生成する。
• 非推移的Anosovフローの時間-$N$写像と、横断的トーラスに沿ったDehnねじりを合成することで、3次元多様体上に微分同相写像を構成する。
• 定理Aのループを用いて、強い安定・不安定foliationの必要な横断的関係が保存されることを保証する。
• 構造的安定性およびプレート展開性の結果を適用し、構成された微分同相写像のロバストな力学的整合性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2つの横断的$C^1$foliationが$\mathbb{T}^2$上に存在するとき、その横断的関係を全期間にわたって保つ、Diff¹($\mathbb{T}^2$)内に非自明なループが存在する条件は何か？
• RQ2 Diff₀($\mathbb{T}^2$)内のループのどのホモトピー類が、同じ自由ホモトピー類に属するコンパクトな葉を持つ2つの横断的foliation間の横断的関係を保つか？
• RQ3 BPPによる非推移的かつ力学的整合的で部分的双曲的な微分同相写像の構成は、その具体的な例を超えて、任意の非推移的Anosovフローへ一般化可能か？
• RQ4 非推移的Anosovフローの時間-$t$写像と合成する際、横断的トーラスに沿ったどのタイプのDehnねじりが部分的双曲的微分同相写像を生成するか？
• RQ5 Dehnねじりによる強い安定・不安定foliationの像の横断的関係をどのように保証すれば、最終的な微分同相写像が絶対的（完全）部分的双曲的になるか？

主な発見

• 任意の平行なコンパクトな葉を持たない2つの横断的$C^1$foliation$\mathcal{F}, \mathcal{G}$に対して、$\mathrm{Diff}^1(\mathbb{T}^2)$内にループ$\{\Phi_t\}_{t\in[0,1]}$が存在し、$\Phi_0 = \Phi_1 = \mathrm{id}$、すべての$t$に対して$\Phi_t(\mathcal{F}) \pitchfork \mathcal{G}$が成り立ち、各点$x \in \mathbb{T}^2$が非自明なホモトピー類のループを描く。
• $\mathcal{F}$と$\mathcal{G}$が同じホモトピー類$\alpha$に属するコンパクトな葉を持つとき、各点がホモトピー類$\beta$のループを描くようなループが存在するための必要十分条件は、$\beta \in \langle \alpha \rangle$、すなわち$\alpha$によって生成される巡回部分群に属することである。
• この構成により、BPPの例を一般化可能である：任意の閉じた3次元多様体上の非推移的Anosovフローに対して、その時間-$N$写像と横断的トーラスに沿ったDehnねじりを合成すると、$N$が十分に大きいとき、部分的双曲的微分同相写像が得られる。
• 得られた微分同相写像$f = \Psi_N \circ X_N$は、絶対的（完全）部分的双曲的であり、ロバストに力学的整合的かつプレート展開的である。
• 微分同相写像$f$の中心バンドルは一様な準等長性を満たす：すべての$n \in \mathbb{Z}$および単位ベクトル$v \in E^c_f$に対して$\|Df^n(v)\| \in [1/C, C]$が成り立ち、中心安定および中心不安定方向におけるリャプノフ安定性が保証される。
• 非推移的Anosovフローの強い安定・不安定foliationは、共役$\psi_{i,N}$の下で極限においても保存され、$N$が十分に大きいとき、横断的関係が維持されることを示しており、最終的な微分同相写像の絶対的（完全）部分的双曲性が裏付けられる。