[論文レビュー] Transverse instability for nonlinear Schr\\"odinger equation with a linear potential

Yohei Yamazaki|arXiv (Cornell University)|May 3, 2015

Advanced Mathematical Physics Problems被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、$ \mathbb{R} \times \mathbb{T}_L$ 上の線形ポテンシャルを伴う非線形シュレーディンガー方程式における線形定常波の横方向不安定性を、リャプノフ汎関数とスペクトル解析に基づく摂動的アプローチを用いて確立している。すべての $L > 0$ に対して、線形定常波 $e^{i\omega t}\tilde{\varphi}_\omega$ が $H^1$ で軌道不安定であることを証明し、KP型方程式に対する先行結果を局所的ポテンシャルを有するNLS設定へと拡張している。

ABSTRACT

In this paper we consider the transverse instability for a nonlinear Schr\\"odinger equation with a linear potential on $\\mathbb{R} \ imes \\mathbb{T}_L$, where $2\\pi L$ is the period of the torus $\\mathbb{T}_L$. Rose and Weinstein showed the existence of a stable standing wave for a nonlinear Schr\\"odinger equation with a linear potential. We regard the standing wave of nonlinear Schr\\"odinger equation on $\\mathbb{R}$ as a line standing wave of nonlinear Schr\\"odinger equation on $\\mathbb{R} \ imes \\mathbb{T}_L$. We show the stability of line standing waves for all $L>0$.

研究の動機と目的

• 周期的横方向 $\mathbb{T}_L$ を有する線形ポテンシャルを伴う非線形シュレーディンガー方程式における線形定常波の横方向不安定性を調査すること。
• KP型方程式における横方向不安定性の枠組みを、局所的ポテンシャルを有するNLS方程式へと拡張すること。
• すべての $L > 0$ に対して、線形定常波 $e^{i\omega t}\tilde{\varphi}_\omega$ が軌道不安定であることを確立すること。これは、1次元定常波が安定であるのと対照的である。
• 近似解の手法とリャプノフ汎関数を、線形ポテンシャルを伴うNLS設定に適応し、線形化作用素のスペクトル特性を用いること。

提案手法

• 1次元定常波 $\varphi_\omega$ を $\mathbb{R}$ から $\mathbb{R} \times \mathbb{T}_L$ へと拡張して、線形定常波 $\tilde{\varphi}_\omega(x,y) = \varphi_\omega(x)$ を構成する。
• 作用汎関数 $S_\omega$ とその定常波まわりの摂動を用いたリャプノフ汎関数法を適用する。
• ルシュ・ツヴェットコフとグレニエの議論を用いて、横方向に不安定固有モードを有する高次近似解を構成する。
• 定常波まわりの線形化作用素のスペクトル解析を用い、すべての $L > 0$ に対して不安定モードの存在を示す。
• 解を位相、振幅、横方向シフト成分に分解するモード解析を実施し、不安定性の増大を追跡する。
• ローズ＝ヴァインシュタインの結果に基づき、1次元定常波の安定性を前提とし、エネルギー推定と背理法を用いて横方向の不安定性を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべての $L > 0$ に対して、線形定常波 $e^{i\omega t}\tilde{\varphi}_\omega$ は $H^1(\mathbb{R} \times \mathbb{T}_L)$ で軌道不安定か？
• RQ2 指数的に減衰する線形ポテンシャル $V(x)$ の存在が、線形定常波の横方向不安定性に影響を与えるか？
• RQ3 近似解の手法とリャプノフ汎関数を、KP方程式におけるそれと同様に、線形ポテンシャルを伴うNLS方程式における不安定性の証明に適応可能か？
• RQ4 横方向周波数 $L$ が線形定常波の安定性を決定する役割を果たすか？
• RQ5 不安定性が現れる臨界周期 $L$ が存在するか、それともすべての $L > 0$ に対して不安定性が成立するか？

主な発見

• 1次元定常波が安定であるのと対照的に、すべての $L > 0$ に対して線形定常波 $e^{i\omega t}\tilde{\varphi}_\omega$ は $H^1(\mathbb{R} \times \mathbb{T}_L)$ で軌道不安定である。
• 不安定性は横方向 $\mathbb{T}_L$ に起因し、線形化作用素の不安定固有モードによって駆動される摂動の増大に起因する。
• 作用汎関数 $S_\omega$ は、定常波に近い初期データから出発する解の流れに沿って減少し、安定性と矛盾する。これにより不安定性が示唆される。
• 初期データが定常波に近い場合、リャプノフ汎関数 $P(u)$ は時間に対して線形に増大し、仮定された安定性のもとでの有界性と矛盾する。
• 臨界パラメータ $R_{p,\omega_0} < 0$ が横方向モードにおける不安定化方向の存在を保証し、すべての $L > 0$ に対して不安定性を引き起こす。
• 結果はすべての $L > 0$ に対して一様に成り立つため、臨界周期の閾値は存在しない。これは、局所的ポテンシャルがスペクトルに与える影響により、KP-I方程式とは異なり、不安定性が普遍的であることを示している。