[論文レビュー] Transverse measures, the modular class, and a cohomology pairing for Lie algebroids

Sam Evens, Jiang-Hua Lu+1 more|ArXiv.org|Oct 16, 1996

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 9被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、Lie代数ダルの第一ホモロジー群に自然に現れる、標準的な要素としてのモジュラー類を導入する。これは、線分束 $ Q_A = \wedge^{\text{top}}A \otimes \wedge^{\text{top}}T^*P $ 上への自然な表現から生じる。この研究では、自明な係数とねじれた係数の間のPoincaré型双対性ペアリングを確立し、有限次元のLie代数の双対性を一般化するとともに、複素解析的状況におけるチャーン類とモジュラー類の関係を示す。

ABSTRACT

We show that every Lie algebroid $A$ over a manifold $P$ has a natural representation on the line bundle $Q_A = \wedge^{top}A \otimes \wedge^{top} T^*P$. The line bundle $Q_A$ may be viewed as the Lie algebroid analog of the orientation bundle in topology, and sections of $Q_A$ may be viewed as transverse measures to $A$. As a consequence, there is a well-defined class in the first Lie algebroid cohomology $H^1(A)$ called the modular class of the Lie algebroid $A$. This is the same as the one introduced earlier by Weinstein using the Poisson structure on $A^*$. We show that there is a natural pairing between the Lie algebroid cohomology spaces of $A$ with trivial coefficients and with coefficients in $Q_A$. This generalizes the pairing used in the Poincare duality of finite-dimensional Lie algebra cohomology. The case of holomorphic Lie algebroids is also discussed, where the existence of the modular class is connected with the Chern class of the line bundle $Q_A$.

研究の動機と目的

• Lie代数ダル $ A $ が線分束 $ Q_A = \wedge^{\text{top}}A \otimes \wedge^{\text{top}}T^*P $ 上に自然に作用する表現を定義し、これは位相的オイエンテーションバンドルの一般化である。
• この表現から生じる1次コサイクルを用いて、$ H^1(A) $ に値をとるモジュラー類を定義し、それがWeinsteinによる $ A^* $ 上のポisson構造に基づく定義と等価であることを示す。
• 自明な係数と $ Q_A $ を係数とするLie代数ダルコホモロジー空間の間の自然なペアリングを構成し、有限次元Lie代数のPoincaré双対性を一般化する。
• 複素解析的状況におけるモジュラー類の意味を検討し、特に $ Q_A $ の第一チャーン類との関係を明らかにする。

提案手法

• 線分束 $ Q_A = \wedge^{\text{top}}A \otimes \wedge^{\text{top}}T^*P $ を定義し、これはLie代数ダルのオイエンテーションバンドルの類似である。
• $ A $ が $ Q_A $ 上に自然な表現を持つことを構成し、これにより $ C^1(A, Q_A) $ 内の標準的な1次コサイクルを定義する。
• この1次コサイクルを用いて、$ H^1(A) $、すなわち第一Lie代数ダルコホモロジー群に値をとるモジュラー類を定義する。
• 自明な係数に関する $ H^k(A; \mathbb{R}) $ と $ Q_A $ を係数とする $ H^{\text{top}-k}(A; Q_A) $ の間の非退化なペアリングを確立し、Poincaré双対性を一般化する。
• 複素解析的Lie代数ダルに理論を適用し、モジュラー類が $ Q_A $ の第一チャーン類と関係していることを示す。
• 既存の定義（特にWeinsteinによる $ A^* $ 上のポisson構造に基づく定義）と整合性があることを検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意のLie代数ダルに対して、標準的な線分束をどのように関連づけられるか。また、その幾何学的またはコホモロジー的役割は何か。
• RQ2 $ H^1(A) $ におけるモジュラー類のコホモロジー的意味は何か。また、横断的測度とはどのように関係するか。
• RQ3 異なる係数を持つLie代数ダルコホモロジー群の間で、Poincaré型の双対性ペアリングを構成できるか。
• RQ4 複素解析的状況において、モジュラー類はどのように振る舞い、特性類とどのように関係するか。
• RQ5 $ Q_A $ 上の表現に基づいて定義されたモジュラー類は、$ A^* $ 上のポアソン構造に基づく定義と同等か。

主な発見

• 線分束 $ Q_A = \wedge^{\text{top}}A \otimes \wedge^{\text{top}}T^*P $ は、Lie代数ダル $ A $ に対して自然な表現を持つため、$ A $ に関連する標準的な幾何的対象である。
• モジュラー類は、この表現に付随する1次コサイクルから生じる $ H^1(A) $ のコホモロジー類として定義され、選択に依存しない。
• このモジュラー類は、Weinsteinが $ A^* $ 上のポアソン構造を用いて以前に定義したものと一致する。
• 自明な係数に関する $ H^k(A; \mathbb{R}) $ と $ Q_A $ を係数とする $ H^{\text{top}-k}(A; Q_A) $ の間の非退化なペアリングが構成され、有限次元Lie代数のPoincaré双対性を一般化する。
• 複素解析的状況では、モジュラー類が $ Q_A $ の第一チャーン類と関係していることが示され、特性類の解釈が得られる。
• 本理論により、Lie代数ダルコホモロジーにおける横断的測度と双対性の統一的枠組みが提供され、古典的な結果がLie代数ダルの文脈に拡張される。