[論文レビュー] Travaux de Frenkel, Gaitsgory et Vilonen sur la correspondance de Drinfeld-Langlands

Gérard Laumon|ArXiv.org|Jul 9, 2002

Advanced Algebra and Geometry被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、複素数体上の射影的曲線に対するGL(n)に対する幾何的ラングランズ対応について、Frenkel, Gaitsgory, Vilonenの研究を要約している。 perverse sheafと六操作形式主義を用いて、G-バンドルのモジュライ空間と局所系の間の双対性を確立する。Hecke固有層を通じて、Hecke固有層の自己同型群のオイラー＝ポワンカレ標数が局所系に依存しないことを証明し、非分岐の場合の完全な幾何的ラングランズ予想への重要な一歩を示している。

ABSTRACT

In 1967, Langlands conjectured a natural correspondence between automorphic representations and Galois representations, over number fields as well as over function fields. In 1983, Drinfeld discovered a geometric analog of the Langlands correspondence in the function field case, which extends the geometric class field theory of Lang and Rosenlicht. The so called Drinfeld-Langlands correspondence is a conjectural duality between two moduli spaces that are naturally associated to an algebraic curve X and a reductive group G. When X is projective and G is the full linear group GL(n), a large part of this correspondence has recently been established by E. Frenkel, D. Gaitsgory et K. Vilonen.

研究の動機と目的

• C 上の射影的曲線に対するDrinfeldの幾何的ラングランズ対応の研究をGL(n)に拡張すること。
• Hecke固有層を用いて、GL(n)-バンドルのモジュライ空間と局所系の間の双対性を確立すること。
• Hecke固有層の自己同型群のオイラー＝ポワンカレ標数が局所系に依存しないことを証明すること。これは、完全な幾何的ラングランズ予想への重要な一歩である。
• 非分岐な幾何的設定において、DrinfeldのGL(2)に関する以前の結果を任意のランクnに一般化すること。

提案手法

• 代数的スタックにおけるC係数のベッチコhomology理論を用い、可構成層の導来カテゴリに着目する。
• 代数的スタックS上の可構成層の導来カテゴリD^b_c(S)に、六操作形式主義（f*, f*, f!, f!, tensor積、双対性）を適用する。
• perversity t-構造と、そのt-構造の心としての perverse sheafのカテゴリ Perv(S) を用いる。
• 部分バンドルのフラグを含む対応を構成し、global Hecke対応を用いてバンドルのモジュライと局所系を関連付けることで、Hecke固有層を構成する。
• Fourier-Deligne変換とBetti設定におけるD-加群の理論を適用し、BernsteinとLuntsの研究に基づく。
• 鍵となる補題として、Hecke固有層の自己同型群のオイラー＝ポワンカレ標数が局所系に依存しないことを、退化と基底変換を用いて証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 C 上の射影的曲線に対するGL(n)の幾何的ラングランズ対応は、自然なHecke固有層構造をもつのか？
• RQ2 Hecke固有層の自己同型群のオイラー＝ポワンカレ標数は、局所系に依存しないのか？
• RQ3 非分岐の場合に、 perverse sheafと六操作形式主義を用いて幾何的ラングランズ対応を確立できるか？
• RQ4 global Hecke対応は、G-バンドルのモジュライ空間と局所系のモジュライ空間をどのように関連付けるか？

主な発見

• Lemma 7.4と退化の議論により、Hecke固有層の自己同型群のオイラー＝ポワンカレ標数が局所系Eに依存しないことが示された。
• 自己同型群Aut_E'の特性関数は、Fib_n'(X) → Fib_n(X) という忘却写像を介して持ち上がることから、固有層性の性質に不可欠である。
• 鍵となる恒等式 f_* N_{n,E}^d(Φ) = Aut_E' | Fib_n'^{n(n-1)(g-1)+d} が成り立ち、Hecke対応と自己同型群を結びつける。
• 自明なランクnの局所系の場合に、オイラー＝ポワンカレ標数を明示的に計算し、不変性証明の基本ケースを提供した。
• Lemma 7.2と基本ケースの計算を用いて、局所系の変更に対してもオイラー＝ポワンカレ標数の不変性が確立された。
• この結果は、幾何的ラングランズプログラムの中心的予想を裏付ける：Hecke固有層の構成は自然であり、局所系の選択に依存しない。