[論文レビュー] Traveling Solitary Waves in the Periodic Nonlinear Schrödinger Equation with Finite Band Potentials

Tomáš Dohnal|arXiv (Cornell University)|May 15, 2013

Nonlinear Photonic Systems参考文献 12被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、有限対比を持つ周期的非線形シュレーディンガー方程式における移動ギャップソリトンの形式的漸近解析と数値的検証を提示する。有限バンドポテンシャルにおける横断的バンドギャップの交差を活用することで、著者らは、縮重点における適切なブロッホ波成分の選択を可能にする新しい最適化アルゴリズムを用いて、O(1)速度の移動する孤立波解を支持する一般化された結合モード方程式（gCMEs）を導出する。この方法により、O(ε⁻¹)時間スケールで近似誤差がε¹収束することが達成される。

ABSTRACT

The paper studies asymptotics of moving gap solitons in nonlinear periodic structures of finite contrast ("deep grating") within the one dimensional periodic nonlinear Schrödinger equation (PNLS). Periodic structures described by a finite band potential feature transversal crossings of band functions in the linear band structure and a periodic perturbation of the potential yields new small gaps. Novel gap solitons with O(1) velocity despite the deep grating are presented in these gaps. An approximation of gap solitons is given by slowly varying envelopes which satisfy a system of generalized Coupled Mode Equations (gCME) and by Bloch waves at the crossing point. The eigenspace at the crossing point is two dimensional and it is necessary to select Bloch waves belonging to the two band functions. This is achieved by an optimization algorithm. Traveling solitary wave solutions of the gCME then result in nearly solitary wave solutions of PNLS moving at an O(1) velocity across the periodic structure. A number of numerical tests are performed to confirm the asymptotics.

研究の動機と目的

• 有限対比周期的非線形シュレーディンガー系において、O(1)速度の移動ギャップソリトンを構築し、従来の研究が無限小速度ソリトンに限られていた制限を克服すること。
• 有限バンドポテンシャルにおける横断的バンドギャップ交差近辺でのギャップソリトンの漸近的挙動を分析すること。ここでバンド関数が交差し、新たなスペクトルギャップが開く。
• 縮重度点における非ゼロの群速度を持つブロッホ波族を体系的に選択する方法を開発すること。2次元固有空間を解消するための最適化アルゴリズムを用いる。
• 一般化された結合モード方程式（gCMEs）を導出し、これらのソリトンの緩やかに変化する包絡線近似の有効方程式としての妥当性を検証すること。
• 近似誤差の漸近的収束率を数値的に確認し、長時間にわたってε¹収束が成立することを示すこと。

提案手法

• スケーリング √εA(εx, εt) を用いた緩やかに変化する包絡線の仮定に基づく形式的漸近解析。ここで ε は小さな摂動パラメータである。
• 一般化された結合モード方程式（gCMEs）を導出し、古典的CMEsを横断的バンドギャップ交差を伴う有限対比系に拡張する。
• バンドギャップ交差点における2次元固有空間から、所望の群速度を持つブロッホ波成分を最適化アルゴリズムで選択する。
• 標準CMEsの既知の解からホモトピー続行法を用いてgCMEsの移動孤立波解を構築する。
• 空間的・時間的スペクトル法と時間分割法を用いて、大領域・高分解能で全周期的非線形シュレーディンガー方程式を数値的に解く。境界効果を最小限に抑える。
• 全解 u(x,t) と漸近的近似 √εu₀(x,t) の誤差解析を行い、t = O(ε⁻¹) におけるL²誤差を測定することで収束率の妥当性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限対比周期構造内に、従来の期待とは異なり無限小速度に限られると考えられていたが、O(1)速度の移動ギャップソリトンが存在しうるか？
• RQ2 バンドギャップ交差点における2次元固有空間から、非ゼロの群速度と波数 k への滑らかな依存性を確保するためのブロッホ波成分の選択方法は何か？
• RQ3 このような系における緩やかに変化する包絡線のダイナミクスを支配する有効方程式は何か？また、これらは古典的結合モード方程式をどのように一般化するか？
• RQ4 有限対比周期ポテンシャルの下で、長時間にわたる時間スケールにおける漸近的近似誤差の収束率は何か？
• RQ5 数値シミュレーションにより、異なるソリトン速度における理論的ε¹収束率が確認できるか？

主な発見

• 本稿は、有限対比周期ポテンシャル内にO(1)速度の近似移動ギャップソリトンの族を構築し、従来の無限小速度に限られていた結果とは顕著に異なる。
• 形式的漸近解析が予測した通り、時間スケールO(ε⁻¹)の間、L²ノルムにおける漸近的近似誤差がε¹収束することが確認された。
• 数値的テストにより、gCMEsの小さな係数βとγをゼロに設定すると収束率が約ε⁰.⁶⁹に低下することが判明し、これらが物理的に重要で不可欠であることを証明した。
• 長時間 t = 20ε⁻¹ においても、誤差収束率はε⁰.⁹³に近く維持されており、長期間にわたる漸近的近似の安定性が示された。
• 最適化アルゴリズムは、バンドギャップ交差点における非ゼロ群速度を持つブロッホ波成分の選択に成功し、移動ソリトン解の構築を可能にした。
• 小速度において、数値解と漸近的近似のモジュラスプロファイルは視覚的に区別がつかず、t = O(ε⁻¹) においても正確な包絡線近似の妥当性が確認された。