[論文レビュー] Traveling Wave Solutions for Delayed Reaction-Diffusion Systems and Applications to Lotka-Volterra Competition-Diffusion Models with Distributed Delays

Guo Lin, Shigui Ruan|arXiv (Cornell University)|May 17, 2013

Mathematical and Theoretical Epidemiology and Ecology Models参考文献 16被引用数 23

ひとこと要約

本稿では、分散遅れを伴う反応拡散系、特に分散遅れを伴う拡散型 Lotka-Volterra 競争モデルにおいて、進行波解の存在および漸近的挙動を確立する。一般化された上解および下解を導入し、Schauder の不動点定理および収縮長方形技法を用いることで、自己相互作用の即時的自抑制が存在する場合、種内競争項における大きな遅れが、正の進行波の存在やその漸近的挙動を妨げないことが示される。

ABSTRACT

This paper is concerned with the traveling wave solutions of delayed reaction-diffusion systems. By using Schauder's fixed point theorem, the existence of traveling wave solutions is reduced to the existence of generalized upper and lower solutions. Using the technique of contracting rectangles, the asymptotic behavior of traveling wave solutions for delayed diffusive systems is obtained. To illustrate our main results, the existence, nonexistence and asymptotic behavior of positive traveling wave solutions of diffusive Lotka-Volterra competition systems with distributed delays are established. The existence of nonmonotone traveling wave solutions of diffusive Lotka-Volterra competition systems is also discussed. In particular, it is proved that if there exists instantaneous self-limitation effect, then the large delays appearing in the intra-specific competitive terms may not affect the existence and asymptotic behavior of traveling wave solutions.

研究の動機と目的

• 遅れ付き反応拡散系における正の進行波解の存在および漸近的挙動を確立すること。
• 古典的な単調性に基づく手法が失敗する非準単調系の課題に取り組むこと。
• 種内競争項における分散遅れが、拡散型 Lotka-Volterra モデルにおける波動伝播に与える影響を分析すること。
• 大きな遅れが、競争系における進行波解の存在性または安定性を破壊するかどうかを調査すること。
• 即時的自己抑制が、顕著な遅れが存在する場合でも波動ダイナミクスを維持できることを示すこと。

提案手法

• Schauder の不動点定理を用いて、進行波解の存在を一般化された上解および下解の存在に還元する。
• 非準単調系における比較原理の欠如を克服するため、一般化された上解および下解の概念を導入する。
• 部分関数型微分方程式における正の進行波解の漸近的挙動を分析するために、収縮長方形技法を適用する。
• 漸近的拡散理論と収縮長方形法を組み合わせ、解の長期的挙動を導出する。
• PDE 系を進行波座標系における関数型微分方程式系に変換するための波動変換を用いる。
• スカラー遅れ付き方程式に対して手法を検証し、分散遅れを伴う拡散型 Lotka-Volterra 競争モデルに応用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 分散遅れを伴う遅れ付き反応拡散系において、正の進行波解が存在する条件は何か？
• RQ2 種内競争項における大きな遅れが、進行波の存在および漸近的挙動に与える影響は何か？
• RQ3 分散遅れを伴う拡散型 Lotka-Volterra 競争系において、非単調進行波解が存在しうるか？
• RQ4 即時的自己抑制が、大きな遅れ下でも波動解を維持する上で果たす役割は何か？
• RQ5 標準的な単調性に基づく手法が、このような系の解析においてどの程度失敗するのか。また、代替的手法はどのようにしてこの問題を克服できるか？

主な発見

• 一般化された上解および下解と Scharuder の不動点定理を用いて、遅れ付き拡散型 Lotka-Volterra 競争系における正の進行波解の存在が確立された。
• 収縮長方形技法と漸近的拡散理論を用いて、進行波解の漸近的挙動が厳密に導出された。
• 分散遅れを伴う拡散型 Lotka-Volterra 系において、非単調進行波解が存在することが示された。
• 自己相互作用の即時的自抑制効果が存在する場合、種内競争項における大きな遅れが、進行波の存在やその漸近的挙動を妨げない。
• 自己抑制が存在する場合、最小波速および波形が大きな遅れ下でも保持され、波動伝播のロバスト性が示された。
• 古典的な単調性に基づくアプローチが非準単調系で失敗する問題を、本手法が効果的に克服した。特に、$ c = 2\sqrt{dr} $ のような臨界波速に対しても有効である。