[論文レビュー] Traveling waves and spreading speeds for time-space periodic monotone systems

Jian Fang, Xiao Yu+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 15, 2015

Mathematical and Theoretical Epidemiology and Ecology Models参考文献 29被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、時間的・空間的周期的環境における単調な半フローに対して、Poincaré写像のアプローチを用いて、時間空間周期的移動波および拡散速度の存在を確立する。2種相互作用モデルにおいて、線形決定性が成り立たない場合でさえも、最小波速が拡散速度に等しいことを証明し、線形決定性が成り立つ条件を提示する。

ABSTRACT

The theory of traveling waves and spreading speeds is developed for time-space periodic monotone semiflows with monostable structure. By using traveling waves of the associated Poincaré maps in a strong sense, we establish the existence of time-space periodic traveling waves and spreading speeds. We then apply these abstract results to a two species competition reaction-advection-diffusion model. It turns out that the minimal wave speed exists and coincides with the single spreading speed for such a system no matter whether the spreading speed is linearly determinate. We also obtain a set of sufficient conditions for the spreading speed to be linearly determinate.

研究の動機と目的

• 時間的・空間的周期的単調半フローに適用可能な、移動波および拡散速度の一般理論の構築を目的とする。
• 時間的・空間的周期的変動環境における伝播の解析のための統一的フレームワークの欠如に取り組む。
• 線形決定性が成り立たない場合でさえも、拡散速度が最小波速に一致する条件を確立する。
• 抽象理論を反応拡散移流モデルによる2種競争モデルに適用する。
• このような系において、拡散速度の線形決定性が成り立つ十分条件を特定する。

提案手法

• 時間的・空間的周期的単調半フローをPoincaré写像を用いて分析し、強い意味での移動波を定義する。
• 順序を保つコンパクト作用素および一般化固有値の理論を用いて、周期的移動波の存在を確立する。
• コンパクトなsupporthを持つ初期データの解の漸近的挙動を用いて、拡散速度の概念を定義する。
• 線形化系のスペクトル理論および固有値解析を用いて、線形決定性を調査する。
• 安定性および波の存在解析を容易にするために、元の系を協同的形に変換する。
• 比較原理および単調性の議論を用いて、グローバル安定性および波の伝播特性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 時間的・空間的周期的環境における単調な半フローに対して、時間的・空間的周期的移動波が存在する条件は何か？
• RQ2 線形決定性が成り立たない場合でも、このような系において最小波速が常に拡散速度に等しいとされるか？
• RQ3 周期的競争系において、拡散速度が線形的に決定可能であるための条件は何か？
• RQ4 拡散、移流、および時間的・空間的周期性の相乗作用が、波の伝播および種の共存にどのように影響するか？
• RQ5 周期的媒体において、拡散速度は線形化系の主固有値を用いて特徴付けられるか？

主な発見

• 線形決定性が成り立たない場合でさえも、時間的・空間的周期的系の最小波速は拡散速度に一致する。
• 2種競争モデルにおいて、種1の初期個体数が非ゼロであれば、正の均衡点 $E_1 = (u^*_1(t,x), 0)$ はグローバル漸近安定である。
• ある臨界速度 $\bar{c}_+$ が存在し、すべての $c \geq \bar{c}_+$ に対して、$(u^*_1(t,x), 0)$ から $(0, u^*_2(t,x))$ に接続する時間的・空間的周期的移動波が存在する。
• $c < \bar{c}_+$ の場合、右方への周期的移動波は存在せず、波の伝播に鋭い閾値があることが示される。
• 線形決定性のための十分条件が導出された：種2の拡散係数 $d_2$ が十分に大きく、または時間周期 $\omega$ が十分に小さい。
• Poincaré写像のアプローチにより、周期的移動波の存在が確立され、波の形状が移動波座標において連続的かつ単調的であることが保証される。