[論文レビュー] Traveling waves for some nonlocal 1D Gross-Pitaevskii equations with nonzero conditions at infinity

André de Laire, Pierre Mennuni|arXiv (Cornell University)|Dec 20, 2018

Nonlinear Photonic Systems参考文献 32被引用数 13

ひとこと要約

本稿は、無限遠でゼロでない境界条件を満たす1次元グロス＝ピタエフケィ方程式における非局所相互作用に対して、ダークソリトンとしての移動波解の存在および軌道安定性を保証するための条件を確立する。運動量とエネルギーの固定のもとでのエネルギー最小化および濃縮コンパクトネスの議論を用いて、臨界閾値未満の速度における有限エネルギー解の族が存在することを証明し、局所的（デルタ関数）の場合の結果をより広い非局所カーネルへ一般化する。

ABSTRACT

We consider a nonlocal family of Gross-Pitaevskii equations with nonzero conditions at infinity in dimension one. We provide conditions on the nonlocal interaction such that there is a branch of traveling waves solutions with nonvanishing conditions at infinity. Moreover, we show that the branch is orbitally stable. In this manner, this result generalizes known properties for the contact interaction given by a Dirac delta function. Our proof relies on the minimization of the energy at fixed momentum. As a by-product of our analysis, we provide a simple condition to ensure that the solution to the Cauchy problem is global in time.

研究の動機と目的

• 1次元グロス＝ピタエフケィ方程式における非局所相互作用へのダークソリトンの存在および安定性を、局所的（デルタ関数）相互作用の場合から一般化する。
• 無限遠で消失しない条件を満たす有限エネルギー移動波解が存在するように、非局所相互作用カーネル $\mathcal{W}$ に必要な十分条件を同定する。
• 方程式の変分的構造を用いて、得られた移動波解の族の軌道安定性を証明する。
• エネルギー最小化フレームワークに基づき、初期値問題に対する解のグローバル存在の十分条件を導出する。

提案手法

• 移動波解のアンザッツ $\Psi_c(x,t) = u(x - ct)$ を導入し、偏微分方程式を非局所的常微分方程式（ODE）に還元する。
• 運動量が適切に定義されるように、エネルギー空間 $\mathcal{E}(\mathbb{R})$ および非消滅エネルギー空間 $\mathcal{N}\mathcal{E}(\mathbb{R})$ を定義する。
• 固定運動量におけるエネルギー最小化法を用い、濃縮コンパクトネスの議論により解を構成する。
• エネルギー曲線 $E_{\text{min}}(\mathfrak{q})$ が下に凸であり、直線 $\sqrt{2}\mathfrak{q}$ がそれと接するという事実から、軌道安定性を示す。
• 非局所性を取り扱うために、事前推定およびコンパクトネス技法を適用し、明示的なODE解に依存しない。
• 解の存在を保証する $\mathcal{W}$ に関する条件（H1）–（H3）またはその変種（H3’）を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非局所相互作用カーネル $\mathcal{W}$ がどのような条件下で、$|\Psi| \to 1$ となる1次元グロス＝ピタエフケィ方程式に対して有限エネルギー移動波解の族が存在するか。
• RQ2 一般の非局所相互作用に対して、このような移動波解の軌道安定性を、デルタ関数の場合に知られている結果を拡張して確立できるか。
• RQ3 エネルギー運動量関係 $E_{\text{min}}(\mathfrak{q})$ がダークソリトンの存在および安定性を決定づける役割を果たすか。
• RQ4 非局所性 $\mathcal{W}$ が、標準的な双曲正 tangent 形状とは著しく異なるソリトンプロファイルの形状および性質にどのように影響を与えるか。
• RQ5 エネルギー最小化アプローチを用いて、初期値問題に対するグローバル適切性の十分条件を導出できるか。

主な発見

• 速度 $c \in (0, c_*)$ に対して有限エネルギー移動波解の族が存在し、$c_* = \sqrt{2}$ である。これは $\mathcal{W} = \delta_0$ の場合の古典的ダークソリトン解を一般化する。
• エネルギー曲線 $E_{\text{min}}(\mathfrak{q})$ が下に凸であり、直線 $\sqrt{2}\mathfrak{q}$ がそれと接するという条件下で、移動波解の族の軌道安定性が証明された。
• 臨界運動量閾値 $\mathfrak{q}_* \sim 1.55$ は、非解析的または指数関数的に成長するフーリエ変換を示す非局所カーネルを含むさまざまなカーネルにおいても数値的に観測された。
• 非局所カーネル $\mathcal{W} = \delta_0 + \text{対数的項}$ や $\mathcal{W}_\sigma = 2\delta_0 - \frac{1}{2}(\delta\sigma + \delta_{-\sigma})$ に対しても、エネルギー曲線は下に凸のままであり、一部の技術的仮定を満たさない場合でも安定性結果のロバストネスが確認された。
• カーネルに長距離的または振動的特徴がある場合、ソリトンプロファイルは $\mathbb{R}^+$ 上に盛り上がりを示す非単調な振るまいを示す可能性があり、標準的な双曲正 tangent 形状とは著しく異なる。
• エネルギー最小化フレームワークから、初期値問題に対する解のグローバル存在の十分条件が導出され、解がエネルギーおよび運動量で有界のままであることを保証した。