[論文レビュー] Travelling wave solutions for gravity fingering in porous media flows

Koondanibha Mitra, Andreas Rätz+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2020

Fluid Dynamics and Thin Films参考文献 29被引用数 1

ひとこと要約

本稿は、動的毛管圧力を伴うヒステリシスモデルを用いて、不飽和多孔質媒体における重力フィンガリングの移動波解を調査する。時間依存問題を移動座標系に変換することで、一定速度で進行する1本のフィンガーフレームの自由境界値問題を構築し、変分法を用いて解の存在を証明し、時間依存シミュレーションおよび実験と整合するフィンガーフォームと速度を示す数値結果を提示する。

ABSTRACT

We study an imbibition problem for porous media. When a wetted layer is above a dry medium, gravity leads to the propagation of the water downwards into the medium. In experiments, the occurrence of fingers was observed, a phenomenon that can be described with models that include hysteresis. In the present paper, we describe a single finger in a moving frame and set up a free boundary problem to describe the shape and the motion of one finger that propagates with a constant speed. We show the existence of solutions to the travelling wave problem and investigate the system numerically.

研究の動機と目的

• 標準のリチャーズ方程式がフィンガーフローのパターンを捉えきれない乾燥多孔質媒体における重力駆動インビビションをモデル化すること。
• 標準モデルの限界を克服するため、特に p = pc(s) + τ∂ts の τ補正モデルを用いたヒステリシスおよび動的毛管圧力効果を組み込むこと。
• 共動座標系におけるフィンガーフォームおよび伝播速度を記述するため、系の移動波定式化を分析すること。
• 所定の流量および境界条件を満たす半無限領域における自由境界値問題に対する解の存在を確立すること。
• 数値的にフィンガープロファイルおよび伝播速度を計算し、時間依存シミュレーションおよび実験的観察と照合すること。

提案手法

• 時間依存インビビション問題を、座標 (y, z + ct) を用いて移動波枠組みに変換し、偏微分方程式系を移動座標系における定常問題に還元する。
• 連成された偏微分方程式系として定式化する：c∂zs = ∇⋅(k(s)[∇p + gez]) および cτ∂zs = [p − pc(s)]+ であり、それぞれ質量収支および動的毛管ヒステリシスを表す。
• k(s) および圧力勾配を含むエネルギー関数を最小化する変分原理を用いて、領域 ΩH = (0,L)×(0,H) における解の存在を証明する。
• 境界条件として、z = 0 で s = s0 および p = p0（底面）、z → ∞ で F∞ の流量、側面で流量なしを課す。
• 数値継続法および有限要素法を用いて断片化された問題を解き、フィンガープロファイルおよび伝播速度を抽出する。
• 符号関数の正則化を用いて、sH および ∇pH に対するリプシッツ連続性の境界を導出し、H → ∞ の極限における安定性および収束性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ヒステリシスおよび動的毛管圧力を伴う多孔質媒体における1本の重力フィンガーフィンガーに対して、移動波解を構築できるか？
• RQ2 移動座標系におけるこのような解の存在を保証する条件は何か？ また、流量、速度、境界データにどのように依存するか？
• RQ3 断片化された問題の数値解は、無限領域問題をどの程度近似するか？ また、H → ∞ の極限における圧力および飽和度の挙動はいかなるものか？
• RQ4 計算されたフィンガーフォームおよび伝播速度は、時間依存シミュレーションおよび実験観測と一致するか？
• RQ5 動的毛管パラメータ τ は、フィンガープロファイルおよび安定性にどのような役割を果たすか？

主な発見

• 変分的定式化を用いて、断片化領域 ΩH における移動波問題の解が存在することが示された。
• 圧力が H → ∞ の極限で有界であるためには、固定された高さ z0 における k(sH) の積分が 0 から離れている必要がある。そうでない場合、圧力は無限大に発散する。
• 数値シミュレーションにより、時間依存シミュレーションおよび実験的観測と整合するフィンガーフォームの飽和度プロファイルが得られ、移動波アプローチの有効性が確認された。
• 伝播速度 c は、時間依存計算から得られた値と良好に一致したが、異なる数値スキーム間でわずかな差異が観察された。
• 解は空間的および時間的リプシッツ連続性を示し、|∂zsH| および |∂ysH| の境界は c、τ、および初期データ s0、p0 に依存する。
• 解析により、解の一意性の欠如が、計算された c 値のばらつきの背後にある可能性が示唆された。これは、同一の境界条件に対し複数の可能なフィンガースピードが存在しうることを示唆する。