[論文レビュー] Tree Orbits under Permutation Group Action: Algorithm, Enumeration and Application to Viral Assembly

Miklós Bóna, Meera Sitharam+1 more|ArXiv.org|Jun 1, 2009

Bacteriophages and microbial interactions参考文献 23被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、イコサヘドロン型ウイルスキャピッドのアセンブリツリーをイコサヘドロン群の作用下で組み合わせ的・アルゴリズム的に列挙し分析する枠組みを構築する。ツリーの安定化部分群を計算する線形時間アルゴリズムを提示し、ツリーの軌道をサイズごとに数える閉形式の公式を導出することで、ウイルス自己集合モデルにおけるアセンブリ経路の確率を計算可能にする。

ABSTRACT

This paper uses combinatorics and group theory to answer questions about the assembly of icosahedral viral shells. Although the geometric structure of the capsid (shell) is fairly well understood in terms of its constituent subunits, the assembly process is not. For the purpose of this paper, the capsid is modeled by a polyhedron whose facets represent the monomers. The assembly process is modeled by a rooted tree, the leaves representing the facets of the polyhedron, the root representing the assembled polyhedron, and the internal vertices representing intermediate stages of assembly (subsets of facets). Besides its virological motivation, the enumeration of orbits of trees under the action of a finite group is of independent mathematical interest. If $G$ is a finite group acting on a finite set $X$, then there is a natural induced action of $G$ on the set $\mathcal{T}_X$ of trees whose leaves are bijectively labeled by the elements of $X$. If $G$ acts simply on $X$, then $|X| := |X_n| = n \cdot |G|$, where $n$ is the number of $G$-orbits in $X$. The basic combinatorial results in this paper are (1) a formula for the number of orbits of each size in the action of $G$ on $\mathcal{T}_{X_n}$, for every $n$, and (2) a simple algorithm to find the stabilizer of a tree $τ\in \mathcal{T}_X$ in $G$ that runs in linear time and does not need memory in addition to its input tree.

研究の動機と目的

• モノマーをリーフとして、サブアセンブリを内部ノードとして持つ根付きツリーとしてウイルスキャピッドアセンブリをモデル化すること。
• ツリーへの群作用を用いて、イコサヘドロン対称性下でのアセンブリ経路の確率分布を理解すること。
• 群作用下でのツリーの安定化部分群を効率的に計算するアルゴリズムを開発すること。
• 特に60の面を持つT=1キャピッドに対して、イコサヘドロン群の作用下でのツリーの軌道をサイズごとに列挙すること。
• 得られた結果を応用して、幾何的安定性および対称性要因を考慮した特定のウイルスアセンブリ経路の尤もらしさを推定すること。

提案手法

• モノマー（面）をリーフ、サブアセンブリを内部ノード、完全なキャピッドを根とする根付きツリーとしてウイルスキャピッドアセンブリをモデル化する。
• 群 $G_{60}$ を、リーフラベルの置換によってツリー空間 $\mathcal{T}_X$ に作用させ、ラベル付きツリーの集合に作用させる。
• 部分群格子上のモービウス反転を用いて、各部分群 $G_i$ が固定するツリーの数を計算し、軌道の列挙を可能にする。
• 部分群格子の構造とモービウス関数の値を用いて、部分群 $G_i$ によって固定されるツリーの母関数 $f_{G_i}(x)$ を導出する。
• 置換群論に基づき、追加のメモリを必要とせず、線形時間で与えられたツリー $\tau$ の安定化部分群を計算するアルゴリズムを採用する。
• 定理2および定理3を適用して、安定化部分群が正確に $G_i$ であるツリーの数を計算し、サイズ $i$ の軌道の数を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 60個のモノマーを持つT=1キャピッドに対して、イコサヘドロン群の作用下での異なるアセンブリ経路（ツリー軌道）はいくつ存在するか？
• RQ2 群作用下での軌道サイズが分かっている場合、アセンブリ経路の確率分布はどのように特定できるか？
• RQ3 与えられたツリーのイコサヘドロン群作用下での安定化部分群を効率的に計算するアルゴリズムは存在するか？
• RQ4 幾何的安定性および対称性要因は、特定のアセンブリ経路の尤もらしさにどのように影響を与えるか？
• RQ5 特定のイコサヘドロン群の部分群に対してのみ固定されるツリーの組み合わせ的構造はどのようなものか？

主な発見

• 60個のモノマー $|X|=60$ を持つ $T=1$ ケースにおいて、安定化部分群が正確に $G_1$（自明群）であるアセンブリツリーの数は $\overline{t}_{60}(G_1) = 1924465510132437394720184730922187571120346754532$ である。
• 安定化部分群が $G_{60}$（完全なイコサヘドロン群）であるツリーの数は $\overline{t}_1(G_{60}) = 204$ であり、最も対称的な経路に対応する。
• 安定化部分群が $G_2$（指数30）であるツリーの数は $\overline{t}_{30}(G_2) = 1670856367100496379411587456529324583988755126499875584$ である。
• 安定化部分群が $G_3$（指数20）であるツリーの数は $\overline{t}_{20}(G_3) = 10087157294451731428720995944759704$ である。
• 安定化部分群が $G_5$（指数12）であるツリーの数は $\overline{t}_{12}(G_5) = 20540071766413107840$ である。
• $G_{60}$-不変な対称的経路はたった204通りであるが、$G_1$-不変な非対称的経路の総数は $10^{99}$ を超え、多様なアセンブリ経路の可能性が広がっていることを示している。