[論文レビュー] Tree Oriented Data Analysis

Sean Skwerer|arXiv (Cornell University)|Sep 19, 2014

Risk and Portfolio Optimization参考文献 21被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、ヒト脳動脈系を含む木構造データをBHV木空間においてフリチェット平均を用いてモデル化することで、木構造データのための新規統計的手法を開発する。微分最適化および内点法を用いたフリチェット平均の計算アルゴリズムを導入し、トポロジー的安定性を説明する「ねばりつき型大数の法則」を確立し、最小長代表系列を用いた木空間カーネルスムージングを提案することで、年齢に伴う動脈木の構造的変化を明らかにする。

ABSTRACT

Complex data objects arise in many areas of modern science including evolutionary biology, nueroscience, dynamics of gene expression and medical imaging. Object oriented data analysis (OODA) is the statistical analysis of datasets of complex objects. Data analysis of tree data objects is an exciting research area with interesting questions and challenging problems. This thesis focuses on tree oriented statistical methodologies, and algorithms for solving related mathematical optimization problems. This research is motivated by the goal of analyzing a data set of images of human brain arteries. The approach we take here is to use a novel representation of brain artery systems as points in phylogenetic treespace. The treespace property of unique global geodesics leads to a notion of geometric center called a Fréchet mean. For a sample of data points, the Fréchet function is the sum of squared distances from a point to the data points, and the Fréchet mean is the minimizer of the Fréchet function. In this thesis we use properties of the Fréchet function to develop an algorithmic system for computing Fréchet means. Properties of the Fréchet function are also used to show a sticky law of large numbers which describes a surprising stability of the topological tree structure of sample Fréchet means at that of the population Fréchet mean. We also introduce non-parametric regression of brain artery tree structure as a response variable to age based on weighted Fréchet means.

研究の動機と目的

• 系統発生的木空間における複雑な木構造データ、特にヒト脳動脈系の分析のための統計的手法を開発すること。
• BHV木空間におけるフリチェット平均の計算という課題に取り組むこと。ここで測地線および幾何的中心は、二乗距離の和の最小化によって定義される。
• フリチェット関数の理論的性質を確立すること。特に、標本平均のトポロジー的安定性を説明する「ねばりつき型大数の法則」を含む。
• 重み付きフリチェット平均および木空間カーネルスムージングを用いて、年齢に対する木構造の非パラメトリック回帰を可能にすること。
• 最小長代表系列を用いて縦断的木構造データのトポロジー的ばらつきを低減し、効率的な要約を可能にすること。

提案手法

• 血管木構造から新しい幾何的マッピングを用いて、脳動脈系をBHV木空間内の点として表現する。
• 減衰ニュートン法をエッジ長最適化に適用し、最適性の条件およびステップサイズの選択を伴ってフリチェット平均を計算する。
• 制約付き最適化問題のための内点法を用い、エッジ長の最適化によりフリチェット平均への収束を保証する。
• 循環的スプリット近接勾配点法および帰納的平均を用いて、木空間におけるグローバルサーチを実行する。
• バンド幅選択を伴う木空間カーネルスムージングを用い、年齢に沿った木構造データの滑らかさを推定する。
• トポロジーの代表的構造を保持しつつ、系列長を最小化するように、最小長代表系列アルゴリズムを導入する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 複雑な木構造データ（例：脳動脈）に対して、BHV木空間におけるフリチェット平均をどのように効率的に計算できるか。
• RQ2 木空間におけるフリチェット関数の理論的性質、特に安定性および収束性に関してはどのような特徴があるか。
• RQ3 標本フリチェット平均のトポロジーが、母集団平均の周囲でどの程度安定化するか。その挙動の背後にある理由は何か。
• RQ4 木空間カーネルスムージングを用いることで、動脈木構造の年齢関連変化をどのようにモデル化できるか。
• RQ5 年齢群にわたる縦断的木構造データを要約するための、最小限の代表トポロジー列は何か。

主な発見

• BHV木空間におけるフリチェット関数は、ねばりつき型大数の法則を示し、標本フリチェット平均が高確率で母集団平均のトポロジー構造を継承する。
• 木空間カーネルスムージングのバンド幅h=4,5,6では、代表的トポロジーが全データの全体的フリチェット平均に安定化する。これは、スムージングが進むにつれて安定した動脈木構造に収束することを示している。
• 最小長代表系列における異なるトポロジーの数は、スムージングなしの場合85から、h≥4ではわずか1に減少する。これは、バンド幅が大きいほど顕著なトポロジーの単純化が生じることを示している。
• 狭いバンド幅（h=1,2,3）では、複数の代表的トポロジーが必要となる。例えば、h=2では、20–38歳と39–68歳の年齢層を捉えるために2つのトポロジーが必要である。これは、若年期および高年齢期に構造的ばらつきが生じていることを示している。
• h=1,2,3のスムージングにおいて、全木長の変動とエッジ数の変動の間に正の相関が観察される。これは、トポロジーの変化が長さの変動を引き起こしている可能性を示唆している。
• h=4,5,6の代表的トポロジーは、すべて全体のフリチェット平均と同一である。これは、このトポロジーが年齢範囲にわたって最も安定的かつ中心的な動脈構造を表していることを確認している。