[論文レビュー] Tree representations of Galois groups

Nigel Boston|ArXiv.org|Sep 18, 2000

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 4被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、特にpで不分岐な無限で有限生成なpro-pガロア群が、根付きp進木の自己同型群における像が大きい（正のハウスドルフ次元で測定される）表現を許容すると提案する。このような群は分岐群であると予想し、標準的なp進表現に代わる木表現を通じて不分岐Fontaine-Mazur予想に新たな視点を提供するものであり、従来のp進表現では捉えきれない構造的性質を明らかにする可能性を秘めている。

ABSTRACT

Much work has gone into matrix representations of Galois groups, but there is a whole new class of naturally occurring representations that have as yet gone almost unnoticed. In fact, it is well-known in various areas of mathematics that the main sources of totally disconnected groups are matrix groups over local fields AND automorphism groups of locally finite trees. It is perhaps surprising then that representations of Galois groups into the latter have been almost ignored, while at the same time Galois representations into the former have been enormously effective in resolving long-standing problems in number theory. These ``tree'' representations are important as regards topics such as the unramified Fontaine-Mazur conjecture. This conjecture states that any p-adic representation of the Galois group of an extension unramified at p (and ramified at only finitely many primes) should have finite image. In other words, p-adic representations say little about such Galois groups. This paper proposes the conjecture that these Galois groups should, on the other hand, have representations with large image (measured by Hausdorff dimension) in the automorphism group of a rooted tree. Thus, they might allow us to investigate the structure of the Galois group of infinite pro-p extensions (such as Hilbert p-class towers), something unapproachable by standard p-adic representation methods.

研究の動機と目的

• 標準的なp進表現とは異なり、ガロア群を根付き木の自己同型群へ写像する表現を検討すること。
• ヒルベルトp類塔のような無限pro-p拡張を研究する際のp進表現の限界を克服すること。
• 数体Kとpを除く素数を含まない集合Sに対して、GK,Sの単純無限pro-p商がハウスドルフ次元を用いて分岐群であるかどうかを調査すること。
• 根付き木の自己同型群の構造と関連付けることで、不分岐Fontaine-Mazur予想を強化すること。
• 幾何学的および群論的アプローチを通じて、ガロア群の構造を理解するための新しい枠組みを提案すること。

提案手法

• 根付きp進木の自己同型群Wの閉部分群Gのハウスドルフ次元を、GₙがWₙへの像であるときのlim infₙ→∞ log|Gₙ| / log|Wₙ|として定義する。
• 無限二進木のpro-2自己同型群W = lim←Wₙを、ガロア表現のターゲットとして用いる。
• 有限指数ではなく、正のハウスドルフ次元によって「像が大きい」という概念を定義し、構造的豊かさを捉える。
• グリゴルチューク型（分岐）群とそのハウスドルフ次元に関する既知の結果（例：初の例で次元5/8）を活用する。
• 有限生成pro-p群をWへの埋め込みとして用い、pro-p群のハウスドルフ次元をそれらすべての埋め込みにおける上界として定義する。
• ガロア群が反復多項式x²+1の上にWへ全射するというOdoni-Stollの結果を活用し、大規模な像を持つ木表現の具体例を提供する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限集合Sを除いて不分岐な数体のガロア群は、正のハウスドルフ次元で測ったとき、根付き木の自己同型群に大きな像を持つ表現を許容するか？
• RQ2 Kを数体とし、Sがp以上の素数を含まないとき、GK,Sのすべての単純無限pro-p商は、p進木の自己同型群の部分群として非自明なハウスドルフ次元を持つ分岐群であるか？
• RQ3 このような木表現の存在は、無限pro-p拡張を研究するためのp進表現の代替手段として有効であるか？
• RQ4 代数的幾何学を用いて、反復二次被覆を通じてこのような木表現を体系的に構成できるか？
• RQ5 これらの木表現におけるフロベニウス元は、モジュラー形式のトレースに類似した算術的情報を保持しているか？

主な発見

• 本稿では、任意の単純無限pro-p群がハウスドルフ次元0であるための必要十分条件が、分岐でない場合であると提案し、予想1を提示：単純無限pro-p群は、かつそれが非ゼロのハウスドルフ次元を持つ場合に限り分岐群である。
• 予想2は、Sがpで不分岐である任意の数体Kに対して、GK,Sのすべての単純無限pro-p商が分岐群であると主張し、これは不分岐Fontaine-Mazur予想を含意する。
• Odoni-Stollの結果により、具体的な例が得られる：反復多項式x²+1のガロア群は、無限二進木のpro-2自己同型群Wへ全射する。
• 初のグリゴルチューク群のハウスドルフ次元は5/8であり、正の次元を持つ非自明な分岐群の具体例を示している。
• 本稿では、ZpやFp[[T]]上の線形表現ではすべての単純無限pro-p群を記述できないことが示され、木の自己同型群への表現といった代替表現の必要性が示唆される。
• 予想により、無限pro-p商を持つガロア群は、正のハウスドルフ次元を持つWへの埋め込みを許容するはずであり、これによりその構造を研究する新しい幾何的不変量が得られる。