[論文レビュー] Tree spanners of small diameter

Ioannis Papoutsakis|arXiv (Cornell University)|Mar 20, 2015

Computational Geometry and Mesh Generation参考文献 18被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、無向グラフにおける直径が最大 t+1 である木 t スパンナの存在を調査する。t=3 の場合、多項式時間アルゴリズムを提示し、t≥4 の場合、NP完全性を証明する。これにより、t≤3 における複雑度の状態が解明され、より大きな t における困難さが確立される。

ABSTRACT

A graph that contains a spanning tree of diameter at most $t$ clearly admits a tree $t$-spanner, since a tree $t$-spanner of a graph $G$ is a sub tree of $G$ such that the distance between pairs of vertices in the tree is at most $t$ times their distance in $G$. In this paper, graphs that admit a tree $t$-spanner of diameter at most $t+1$ are studied. For $t$ equal to 1 or 2 the problem has been solved. For $t=3$ we present an algorithm that determines if a graph admits a tree 3-spanner of diameter at most 4. For $t\geq4$ it is proved that it is an NP-complete problem to decide whether a graph admits a tree $t$-spanner of diameter at most $t+1$.

研究の動機と目的

• グラフが直径が最大 t+1 である木 t スパンナをもつかどうかを決定する計算複雑度を特定すること。
• 直径制約のもとでの木 3 スパンナ問題の未解決な複雑度状態を解明すること。
• このようなスパンナをもつグラフ族を同定し、小規模な t に対してアルゴリズム的解決策を提供すること。
• t の値に基づいて、 tractable なケースと NP 完全なケースの二分法を確立すること。

提案手法

• 直径が最大 4 である木 3 スパンナの存在をテストする多項式時間アルゴリズムを開発する。
• t 中心（中心頂点または辺）の概念を用いて t スター図を定義し、それらをスパンナの存在と関連付ける。
• t 中心を根とする幅優先探索木を用いて、直径が有界な候補スパンナを構築する。
• 誘導サイクルや完全グラフの性質を含む構造的グラフ理論を用いて、スパンナの和集合を分析する。
• 既知の NP 完全問題を還元して、t≥4 における NP 完全性を証明する。h(f(I),t) といったグラフ構築法を用いる。
• t スター図と直径が最大 t である生成木をもつグラフとの同値性（補題 1）を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 直径が最大 t+1 である木 t スパンナをもつグラフを決定する問題が、どの t の値について tractable か？
• RQ2 直径が最大 4 である木 3 スパンナをもつグラフを認識するための効率的アルゴリズムを設計可能か？
• RQ3 どのようなグラフの構造的性質が、このような小径スパンナの存在を保証するか？
• RQ4 すべての t≥4 において問題が NP 完全か？ もしそうであれば、どのような条件下か？
• RQ5 特に誘導サイクル構造の観点から、木 t スパンナの和集合はどのように振る舞うか？

主な発見

• 直径が最大 t+1 である木 t スパンナをもつグラフを決定する問題は、t≤3 の場合に多項式時間で解ける。
• t=3 の場合に、直径が最大 4 である木 3 スパンナをもつかどうかを決定する具体的な多項式時間アルゴリズムが提示されている。
• t≥4 の場合、問題は NP 完全であることが証明され、複雑度の二分法が確立された。
• 本稿では、任意の二つの木 3 スパンナの和集合が、三角形を除いて奇数の誘導サイクルを含まないことが示され、このような和集合は完全グラフであることが判明した。
• t 中心（t スター図）をもつグラフは、直径が最大 t である生成木をもつグラフとちょうど一致する。
• t 中心を根とする最短経路木から木 t スパンナを構築することで、t≥4 の場合に直径が最大 t+1 に抑えられるが、決定問題そのものは NP 完全のままである。