[論文レビュー] Trees and linear anticomplete pairs

Maria Chudnovsky, Alex Scott+2 more|arXiv (Cornell University)|Sep 4, 2018

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 7被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、任意の森林 $ H $ に対して、最大次数が特定の閾値 $ \epsilon n $ 未塔の $ H $-自由グラフ $ G $ は、辺のない2つの互いに素な線形サイズの集合を含むという予想を証明する。その結果、$ H $ とその補グラフの両方を誘導部分グラフとして含まないグラフは、多項式的サイズのクリークまたは安定集合を含むことが示される。

ABSTRACT

We prove a conjecture of Liebenau, Pilipczuk, and the last two authors, that for every forest $H$ there exists $\epsilon>0$, such that if $G$ has $n\ge 2$ vertices and does not contain $H$ as an induced subgraph, and has maximum degree less than $\epsilon n$, then there are two disjoint sets $A,B\subseteq V(G)$ with $|A|,|B|\ge \epsilon n$, such that there are no edges between $A,B$. (It is known that no graphs $H$ except forests have this property.) Consequently we prove that for every forest $H$, there exists $c>0$ such that for every graph $G$ containing neither $H$ nor its complement as an induced subgraph, there is a clique or stable set of cardinality at least $|V(G)|^c$.

研究の動機と目的

• スパarsなグラフにおける誘導部分グラフに関する Liebenau, Pilipczuk および他の研究者の予想を解決すること。
• 最大次数が有界な $ H $-自由グラフにおける大きな反完全対の存在を確立すること。
• 森林 $ H $ とその補グラフの両方を誘導部分グラフとして含まないグラフにおけるクリークまたは安定集合のサイズに対する多項式的下界を導出すること。
• 森林 $ H $ とその補グラフの両方を誘導部分グラフとして含まないグラフの構造的性質を同定すること。

提案手法

• ある $ \epsilon > 0 $ が $ H $ に依存して存在し、最大次数が $ \epsilon n $ 未塔の $ H $-自由グラフに大きな反完全対が存在することを証明する。
• 構造的グラフ理論的手法を用いて、次数制約下での $ H $-自由グラフの分解を分析する。
• ラマセー的推論を適用し、$ H $ とその補グラフが誘導部分グラフとして存在しないことから、大きな均一集合が生じることを示す。
• 唯一の森林 $ H $ のみがこのような性質を満たすという事実を活用し、考察対象のグラフクラスを制限する。
• 誘導部分グラフとしての $ H $ の不在と、大きな安定集合またはクリークの存在との間の関係を、反完全対を通じて確立する。
• 極値的グラフ理論を用いて、グラフの位数を用いたクリークまたは安定集合の最小サイズを評価する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の森林 $ H $ に対して、最大次数が $ \epsilon n $ 未塔の任意の $ H $-自由グラフにおいて、辺のない2つの互いに素な線形サイズの集合が存在するか？
• RQ2 森林 $ H $ とその補グラフの両方を誘導部分グラフとして含まないグラフに、どのような構造的性質が現れるか？
• RQ3 スパarsなグラフにおいて、森林 $ H $ が誘導部分グラフとして存在しないことは、大きな反完全対の存在を強制するか？
• RQ4 大きな反完全対を強制する性質は、森林 $ H $ に特有のものか？
• RQ5 森林 $ H $ とその補グラフの両方を誘導部分グラフとして含まないグラフにおけるクリークまたは安定集合の最小サイズは何か？

主な発見

• 任意の森林 $ H $ に対して、ある $ \epsilon > 0 $ が存在し、最大次数が $ \epsilon n $ 未塔の任意の $ H $-自由グラフ $ G $ は、辺のない2つの頂点集合 $ A $ および $ B $ を持ち、それぞれのサイズが $ \epsilon n $ 以上である。
• このような反完全対の存在は、森林 $ H $ に特有である。非森林に対しては同様の性質は成り立たない。
• その結果、$ H $ とその補グラフの両方を誘導部分グラフとして含まない任意のグラフ $ G $ は、ある $ c > 0 $（$ H $ に依存）を用いて、サイズが少なくとも $ |V(G)|^c $ のクリークまたは安定集合を含む。
• この結果により、森林 $ H $ とその補グラフを両方とも誘導部分グラフとして含まないグラフは、大きな均一集合を含むという構造的二分法が確認された。
• 均一集合のサイズに対する境界は頂点数の多項式的であるため、強いラマセー的保証が得られる。
• 証明により、次数制約下で大きな反完全対が存在することを保証する定量的閾値 $ \epsilon $ が $ H $ に依存して定義される。