[論文レビュー] Trees in renorming theory

Richard Haydon|arXiv (Cornell University)|Sep 27, 1995

Advanced Banach Space Theory参考文献 9被引用数 8

ひとこと要約

この論文は、木 $Π$ に関連するバナッハ空間の正規化性質を調査し、空間 $Π_0(Π)$ に局所有限回転（LUR）、厳密凸、およびケーデックノルムが存在するための必要十分条件を確立する。有限分岐木はケーデック正規化を許容することを示し、厳密凸化不可能であるがケーデック正規化可能な空間を構成することで、厳密凸正規化の三空間問題や、中点局所的均等凸性とLUR正規化可能性の関係を含む、正規化理論における長年の問題を解決する。

ABSTRACT

Trees are very agreeable objects to work with, offering a diversity of behaviour within a structure that is sufficiently simple to admit precise analysis. Thus we are able to offer fairly satisfactory necessary and sufficient conditions on a tree $Υ$ for the existence of equivalent LUR or strictly convex norms on $\C_0(Υ)$ and for norms with the Kadec Property. In particular, we show that for a {\sl finitely branching} tree $Υ$ the space $\C_0(Υ)$ admits a Kadec renorming. Since some finitely branching trees fail the condition for strictly convex renormability, we obtain an example of a Banach space that is Kadec renormable but not strictly convexifiable. Consideration of specially tailored examples enables us to answer the ``three-space problem'' for strictly convex renorming: there exists a Banach space $X$ with a closed subspace $Y$ such that both $Y$ and the quotient $X/Y$ admit strictly convex norms, while $X$ does not. We also solve a problem about the property of mid-point locally uniform convexity (MLUR), showing that this does not imply LUR renormability.

研究の動機と目的

• 木 $\Upsilon$ に対して $\C_0(\Upsilon)$ に同値なLUR、厳密凸、およびケーデックノルムが存在するための必要十分条件を特定すること。
• 厳密凸正規化の三空間問題を解消するため、部分空間 $Y$ および商空間 $X/Y$ が両方とも厳密凸ノルムを許容するが、$X$ 自身はそうではないようなバナッハ空間 $X$ を構成すること。
• 中点局所的均等凸性（MLUR）とLUR正規化可能性の関係を調査し、MLUR が LUR 正規化可能性を示さないことを示すこと。
• 有限分岐木がケーデック正規化可能な空間を生じることを示し、厳密凸正規化が不可能であっても成立することを示すこと。
• 非可分かつ非反射的バナッハ空間における正規化性質の限界を明確にする反例を提供すること。

提案手法

• 論文は、木 $\Upsilon$ の構造を用いて、特に木の順序および分岐性に注目して、空間 $\C_0(\Upsilon)$ の位相を分析する。
• 正規化理論の技術を適用し、順序数帰納法による同値ノルムの構成や、木に基づく距離を用いる。
• 特に有限分岐木を含む特定の木のクラスを定義・分析し、LUR、厳密凸、またはケーデック正規化を許容するかを同定する。
• 三空間問題やMLUR対LURの含意に関する反例として、特殊な木の例を構成する。
• 単位球面および台関数の挙動を制御するため、木の位相的および順序論的性質に依存する分析を行う。
• 木のランクと分岐度の概念を用いて、特定の正規化性質が可能または不可能となる条件を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの木 $\Upsilon$ に対して $\C_0(\Upsilon)$ が同値なLURノルムを許容するか？
• RQ2 すべてのケーデック正規化可能な空間が厳密凸正規化可能であるか、それともケーデックではあるが厳密凸化不可能な空間が存在するか？
• RQ3 部分空間 $Y$ および商空間 $X/Y$ が両方とも厳密凸化可能であるが、$X$ 自身は厳密凸化不可能なバナッハ空間 $X$ が存在するか？
• RQ4 中点局所的均等凸性（MLUR）は、同値なLURノルムの存在を示唆するか？
• RQ5 どの構造的性質が、木 $\Upsilon$ に対して $\C_0(\Upsilon)$ がケーデック正規化可能であることを保証するか？

主な発見

• 任意の有限分岐木 $\Upsilon$ に対して、空間 $\C_0(\Upsilon)$ はケーデック正規化を許容する。
• ケーデック正規化可能であるが厳密凸化不可能なバナッハ空間が存在し、ケーデック正規化が厳密凸性を示さないことを示している。
• 厳密凸正規化の三空間問題には否定的解がある：部分空間 $Y$ および商空間 $X/Y$ が両方とも厳密凸化可能であるが、$X$ 自身はそうではない。
• 中点局所的均等凸性（MLUR）は、同値なLURノルムの存在を示さない。
• 有限分岐木に対しては、$\C_0(\Upsilon)$ が厳密凸正規化を許容しない場合でもケーデック正規化を許容する可能性がある。
• 論文は、バナッハ空間理論における主要な正規化性質の論理的独立性を明確にする具体的な反例を構成している。