[論文レビュー] Trees over Infinite Structures and Path Logics with Synchronization

Alex Spelten, Wolfgang Thomas+1 more|Nov 14, 2011

Formal Methods in Verification被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、無限の関係的構造に等高関係を追加した弱木反復の鎖論理理論の決定可能性を、下位論理に関する弱い仮定の下で確立する。モデルチェックの決定可能性は、兄弟に関する量化が可能になるような決定可能な論理を用いる場合に保たれるが、強木反復に拡張すると、たとえ二分木のような単純な構造であっても決定不能性が生じる。

ABSTRACT

We provide decidability and undecidability results on the model-checking problem for infinite tree structures. These tree structures are built from sequences of elements of infinite relational structures. More precisely, we deal with the tree iteration of a relational structure M in the sense of Shelah-Stupp. In contrast to classical results where model-checking is shown decidable for MSO-logic, we show decidability of the tree model-checking problem for logics that allow only path quantifiers and chain quantifiers (where chains are subsets of paths), as they appear in branching time logics; however, at the same time the tree is enriched by the equal-level relation (which holds between vertices u, v if they are on the same tree level). We separate cleanly the tree logic from the logic used for expressing properties of the underlying structure M. We illustrate the scope of the decidability results by showing that two slight extensions of the framework lead to undecidability. In particular, this applies to the (stronger) tree iteration in the sense of Muchnik-Walukiewicz.

研究の動機と目的

• 無限の関係的構造から構築された無限木構造のモデルチェック問題を調査すること。
• 弱木反復におけるパス論理と同期（等高関係を介して）の決定可能性が成り立つかどうかを特定すること。
• 木のパスに関する論理と、元の構造の性質に関する論理を分離すること。
• 強化されたフレームワーク（たとえば強木反復）における一般化の限界を示すことにより、決定不能性を同定すること。
• 兄弟量化を決定可能な基本論理を用いて組み込むことで、鎖論理と無限アルファベットに関する先行研究を拡張すること。

提案手法

• 論文は、無限の関係的構造 $\mathcal{M}$ の弱木反復 $\mathcal{M}^\#$ を構築する。ここでノードは $M^*$ の列であり、エッジは接頭辞拡張によって定義される。
• ノードが同じ深さにあるときに成立する等高関係 $E$ を $\mathcal{M}^\#$ に追加し、これによりレベル間での同期が可能になる。
• $\mathcal{M}$ 上で理論が決定可能な論理 $\mathcal{L}$ を導入し、$\mathcal{L}$-式を用いて同じ親の兄弟に関する量化を許可する。
• $\mathcal{M}^\#_E$ 上で、鎖（チェーン）に関する量化子と、兄弟集合に制限された $\mathcal{L}$-量化子を組み合わせた鎖論理理論を定義する。
• 定義可能コード化技術を用いて、木における有限集合への存在量化を、固定されたレベルにおける反鎖（antichain）上の量化にシミュレートし、レベル上の一次論理に還元する。
• 二分木に $E$ を加えた弱MSO理論が決定不能であることを減少数により示すことで、強木反復 $\mathcal{M}^*$ の決定不能性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 下位論理 $\mathcal{L}$ が $\mathcal{M}$ 上で決定可能である場合、弱木反復 $\mathcal{M}^\#_E$ の鎖論理理論は決定可能か？
• RQ2 決定可能な論理 $\mathcal{L}$ を用いた兄弟量化が、$\mathcal{M}^\#_E$ 上の鎖論理フレームワークに統合可能であり、かつ決定性が保たれるか？
• RQ3 古典的ケースにおけるMSOと同様に、決定性結果は強木反復 $\mathcal{M}^*_E$ に拡張可能か？
• RQ4 等高関係 $E$ は同期を可能にし、決定性に与える影響は何か？
• RQ5 入力に $\mathcal{M}$-値を用い、遷移に $\mathcal{L}$-式を用いることで、無限アルファベット上のオートマトンにこのフレームワークを一般化可能か？

主な発見

• $\mathcal{M}$ の $\mathcal{L}$-理論が決定可能である限り、$\mathcal{M}^\#_E$ の鎖論理理論は決定可能であり、任意のノードの兄弟に関する $\mathcal{L}$-量化子を許容しても成り立つ。
• 決定性結果は、一次論理、弱モノイド第二階論理、および推移的閉包論理を含む、$\mathcal{L}$ に対する弱い仮定のもとで成立する。
• 等高関係 $E$ は木のレベル間での同期を可能にし、パスベースの性質の協調的記述に不可欠である。
• 二分木の後続構造を $\mathcal{M}$ とすると、$\mathcal{M}^*_E$ の鎖論理理論は決定不能であることを示し、強反復が決定性を破壊することを実証した。
• レベル $L$ より前の有限ノード集合をレベル $L$ の反鎖に符号化することで、弱MSO理論の決定不能性を、$\mathcal{M}^*_E$ の鎖論理理論に還元して証明した。
• 下位論理 $\mathcal{L}$-理論が決定可能であれば、無限アルファベット上の一般化された Büchi オートマトンの非空性が決定可能であるフレームワークを提供する。