[論文レビュー] Trees, ultrametrics, and noncommutative geometry

Bruce Hughes|arXiv (Cornell University)|May 4, 2006

Advanced Operator Algebra Research参考文献 22被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、非可換幾何学、特にレンオーの群歪みC*-代数を用いて、p進的空間および無限遠における木構造の局所幾何を研究する。可算群のコン pact なp進的空間上における局所的剛性作用を導入し、関連するC*-代数への忠実なユニタリ表現を証明する。これは、ビルゲットとネクラシェヴィチのトランスフォーメーション群VのCuntz代数$\mathcal{O}_2$における表現を特別な場合として回復する。

ABSTRACT

Noncommutative geometry is used to study the local geometry of ultrametric spaces and the geometry of trees at infinity. Connes's example of the noncommutative space of Penrose tilings is interpreted as a non-Hausdorff orbit space of a compact, ultrametric space under the action of its local isometry group. This is generalized to compact, locally rigid, ultrametric spaces. The local isometry types and the local similarity types in those spaces can be analyzed using groupoid C^*-algebras. The concept of a locally rigid action of a countable group Γon a compact, ultrametric space by local similarities is introduced. It is proved that there is a faithful unitary representation of Γinto the germ groupoid C^*-algebra of the action. The prototypical example is the standard action of Thompson's group V on the ultrametric Cantor set. In this case, the C^*-algebra is the Cuntz algebra O_2 and representations originally due to Birget and Nekrashevych are recovered. End spaces of trees are sources of ultrametric spaces. Some connections are made between locally rigid, ultrametric spaces and a concept in the theory of tree lattices of Bass and Lubotzky.

研究の動機と目的

• 局所等長型の商空間を非ハウスドルフ的軌道空間として解釈することで、コンネスの非可換幾何の枠組みをコン pact なp進的空間へ拡張すること。
• 群歪みC*-代数を用いて、p進的空間における局所等長型および局所類似型を分析すること。
• ビルゲットとネクラシェヴィチのトランスフォーメーション群Vの$\mathcal{O}_2$への忠実なユニタリ表現を、より広い群作用のクラスへ一般化すること。
• 木の端空間を通じて、局所的剛性を持つp進的空間と木格子理論の間に接続を確立すること。
• p進的幾何および非可換C*-代数の視点から、記号的力学と幾何的群論を統合すること。

提案手法

• 可算群$\Gamma$がコン pact で局所的剛性を持つp進的空間$X$上で局所類似によって作用するのを、レンオーの群歪みC*-代数理論を用いてモデル化する。
• 作用に関連するgerm群歪み$\mathcal{G}_\Gamma(X)$を構成し、そのC*-代数が$X$の局所幾何を捉えていることを示す。
• p進的空間および作用における局所的剛性を定義し、局所等長が点におけるgermによって一意に決定されることを保証する。
• 根付きで、測地的に完全かつ局所的に有限な木の端空間に理論を適用し、このような空間が自然にp進的空間であることを示す。
• Bratteli図を用いて木のパス群歪みをモデル化し、$n$-分木に対してCuntz代数$\mathcal{O}_n$と関連付ける。
• almost automorphism群$\mathrm{AAut}(T,v)$、すなわち$LS_{l.o.p.}(X)$に同型な群が、端空間$X$上で局所的剛性を持つ作用をもつことを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非可換幾何学は、コン pact なp進的空間における局所等長型をどのように扱えるか？
• RQ2 非可換空間としての局所等長型の空間が、C*-代数的解析に適した良好な性質を示すp進的空間のクラスは何か？
• RQ3 トランスフォーメーション群$V$の$\mathcal{O}_2$への忠実なユニタリ表現は、他の群作用に適用可能な一般原理から導けるか？
• RQ4 局所的剛性を持つ作用がp進的空間上で、バス＝ルボツキー理論における木格子論とどのように関係するか？
• RQ5 記号的力学におけるテイル同値性という概念は、p進的空間における局所等長とどのように関係するか？

主な発見

• ペンローズタイルの空間は、局所等長による商空間として非ハウスドルフ的空間と解釈され、その非可換幾何はAF C*-代数によって記述される。
• 任意の可算群$\Gamma$がコン pact なp進的空間$X$上で局所的剛性を持つ局所類似によって作用するとき、関連するgerm群歪みのC*-代数への忠実なユニタリ表現が存在する。
• 2分木の端空間（ケーラン集合）におけるトランスフォーメーション群$V$の標準的作用に対して、関連するC*-代数はCuntz代数$\mathcal{O}_2$であり、既知の表現が回復される。
• Higman–Thompson群$G_{n,1}$は$n$-分木の端空間上で局所的剛性を持つ作用をもち、その$\mathcal{O}_n$への忠実なユニタリ表現は群歪みC*-代数の構成によって回復される。
• 局所的に有限で根付きで、測地的に完全な木の端空間はコン pact なp進的空間であり、その局所類似群$LS_{l.o.p.}(X)$はalmost automorphism群$\mathrm{AAut}(T,v)$に同型である。
• 記号的力学におけるテイル同値性は、関連するp進的空間における局所等長を意味するが、逆は一般には成り立たない。これは、二つの概念の間に厳密な階層があることを示している。