[論文レビュー] Trees with given degree sequences that have minimal subtrees

Xiumei Zhang, Xiao‐Dong Zhang|arXiv (Cornell University)|Sep 3, 2012

Graph theory and applications参考文献 12被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、与えられた次数列を持つ木の中で部分木の数を最小化するものについて調査し、そのような極値木はキャタピラーであることが示されたが、一意的であるとは限らない。次数列に5個以下の非葉頂点が含まれる場合、本稿は最小部分木数を持つ木を完全に特徴づけ、その構造が次数成分の相対的な大きさに依存することを示し、各ケースにおける最小部分木数の明示的公式を提示する。

ABSTRACT

In this paper, we investigate the structures of an extremal tree which has the minimal number of subtrees in the set of all trees with the given degree sequence of a tree. In particular, the extremal trees must be caterpillar and but in general not unique. Moreover, all extremal trees with a given degree sequence $π=(d_1, ..., d_5, 1,..., 1)$ have been characterized.

研究の動機と目的

• 指定された次数列を持つすべての木の中で、部分木数の下界を特定すること。
• この最小部分木数を達成するすべての極値木を特徴づけること。
• 与えられた次数列に対して、そのような最小部分木数の木が一意的かどうかを調査すること。
• 特にキャタピラー形式であるという構造的性質を、これらの極値木について確立すること。
• 次数列の成分に基づいて、最小部分木数の明示的公式を導出すること。

提案手法

• 固定された次数列の下で部分木数を最小化する任意の木がキャタピラーでなければならないことを示し、経路の延長と次数の矛盾を用いた議論を用いる。
• 組合せ的数え上げ技法を用いてキャタピラー構造内の部分木を数え、末端の頂点を伴う経路における部分木数の公式を活用する。
• 辞書式順序と次数に基づく順列解析を用いて、さまざまなキャタピラー構成間の部分木数を比較する。
• 部分木数における指数関数的項に着目した、鍵となる補題（補題3.1）を用い、キャタピラーの背骨における最適な次数順序を同定する。
• キャタピラーの背骨における各内部頂点とその近傍が果たす寄与を分析することで、最小部分木数の閉形式表現を導出する。
• 次数値に基づいた2の累乗を含む差分公式を用いて、代替的なキャタピラー構成間の部分木数を比較する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 与えられた次数列を持つすべての木の中で、部分木数の最小値は何か？
• RQ2 与えられた次数列に対して、部分木数を最小化する極値木は一意的か？
• RQ3 固定された次数列の下で、最小部分木数の木がどのような構造的性質を持つのか？
• RQ4 非葉次数の順序が、キャタピラー木における部分木数にどのように影響するか？
• RQ5 非葉頂点の数が小さい（≤5）場合に、最小部分木数の明示的公式を導出できるか？

主な発見

• 与えられた次数列に対して部分木数を最小化するすべての極値木はキャタピラーであるが、一意的であるとは限らない。
• 非葉頂点がちょうど2つの場合、最小部分木数は一意に定まり、$ \varphi(T) = 2^{n-2} + 2^{d_1-1} + 2^{d_2-1} + n - 2 $ で与えられる。
• 非葉頂点が3つの場合、最小部分木数は一意に達成され、キャタピラー $ C(d_1-2, d_3-2, d_2-2) $ によって実現され、2の累乗の和を含む明示的閉形式式で表される。
• 非葉頂点が4つの場合、最小部分木数は一意に達成され、キャタピラー $ C(d_1-2, d_4-2, d_3-2, d_2-2) $ によって実現され、次数成分に基づいた複雑ではあるが明示的な公式を持つ。
• 非葉頂点が5つの場合、最小木は特定の条件下でのみ一意である：$ 2^{d_1} > 2^{d_3-1}(1 + 2^{d_2-1}) $ かつ $ d_4 \neq d_5 $ のとき、最小木は $ C(d_1-2, d_5-2, d_4-2, d_3-2, d_2-2) $ である。
• 一方、$ 2^{d_1} = 2^{d_3-1}(1 + 2^{d_2-1}) $ または $ d_4 = d_5 $ の場合、2つの異なるキャタピラーが最小部分木数を達成し、この場合に非一意性が生じることを示している。