[論文レビュー] Treewidth of display graphs: bounds, brambles and applications

Remie Janssen, Mark Jones+3 more|arXiv (Cornell University)|Sep 4, 2018

Plant and animal studies参考文献 36被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、非根付き二分型系統的系統樹と系統的ネットワークからなる表示グラフの幅を調査し、一般にはその識別がNP困難であることを示すが、幅が有界である場合には線形時間で解けることを証明する。ネットワーク $N$ が木 $T$ を表示する場合、表示グラフの幅に対するタイトな上界 $2\text{tw}(N)+1$ を確立し、これをもとに、幅をパラメータとする固定パラメータ探索的（FPT）アルゴリズムをネットワーク表示問題に開発する。

ABSTRACT

Phylogenetic trees and networks are leaf-labelled graphs used to model evolution. Display graphs are created by identifying common leaf labels in two or more phylogenetic trees or networks. The treewidth of such graphs is bounded as a function of many common dissimilarity measures between phylogenetic trees and this has been leveraged in fixed parameter tractability results. Here we further elucidate the properties of display graphs and their interaction with treewidth. We show that it is NP-hard to recognize display graphs, but that display graphs of bounded treewidth can be recognized in linear time. Next we show that if a phylogenetic network displays (i.e. topologically embeds) a phylogenetic tree, the treewidth of their display graph is bounded by a function of the treewidth of the original network (and also by various other parameters). In fact, using a bramble argument we show that this treewidth bound is sharp up to an additive term of 1. We leverage this bound to give an FPT algorithm, parameterized by treewidth, for determining whether a network displays a tree, which is an intensively-studied problem in the field. We conclude with a discussion on the future use of display graphs and treewidth in phylogenetics.

研究の動機と目的

• 系統的系統樹とネットワークからなる表示グラフの構造的およびアルゴリズム的性質を調査すること。
• 先行研究で提起された、表示グラフの識別問題という未解決問題に取り組むこと。
• 系統的ネットワーク $N$ が木 $T$ を表示する場合の表示グラフのタイトな幅境界を確立すること。
• 幅をパラメータとする固定パラメータ探索的（FPT）アルゴリズムを、ネットワーク表示問題に開発すること。
• 表示グラフと幅の概念が、系統的推論およびアルゴリズム設計の分野において、より広く応用可能であるかを検討すること。

提案手法

• 表示グラフ識別問題をTreeArboricity問題に帰着させることで、そのNP困難性を証明する。
• モノディック第二階論理（MSOL）を用いて性質を表現し、Courcelleの定理を適用することで、幅が有界なグラフにおいて表示グラフ識別が線形時間で解けることを示す。
• ブラム（bramble）に基づく議論を導入し、ネットワーク $N$ とそれが表示する木 $T$ の表示グラフの幅に対する $2\text{tw}(N)+1$ の幅境界が、加法的定数の範囲内でタイトであることを証明する。
• エッジの削除によってネットワーク $N$ が木 $T$ を表示する条件を表現するためのMSOL式を構築し、連結性、閉路なし、四分木適合性の述語を用いる。
• 得られた幅境界を活用し、幅をパラメータとするネットワーク表示問題のFPTアルゴリズムを設計する。
• 系統的学者に馴染み深いネットワークのレベルとリチュレーション数に基づく、代替の幅境界を提示し、結果の可視性を高める。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 与えられた立方体グラフが、縮約された表示グラフであるかどうかを識別する問題はNP困難か？
• RQ2 幅が有界な表示グラフは線形時間で識別可能か？
• RQ3 系統的ネットワーク $N$ と、$N$ が表示する木 $T$ からなる表示グラフの幅に対する、最もタイトな上界は何か？
• RQ4 表示グラフの幅境界を用いて、あるネットワークが与えられた木を表示するかどうかを判定するFPTアルゴリズムを設計できるか？
• RQ5 ネットワークのレベルやリチュレーション数といったパラメータは、得られる表示グラフの幅とどのように関係するか？

主な発見

• 与えられた立方体グラフが縮約された表示グラフであるかどうかを識別する問題はNP困難である。
• 幅が有界である場合、Courcelleの定理とMSOL式を用いることで、表示グラフ識別は線形時間で解ける。
• 系統的ネットワーク $N$ が木 $T$ を表示する場合、それらの表示グラフの幅は $2\text{tw}(N)+1$ 以下であり、この境界は加法的定数1の範囲内でタイトである。
• 系統的学者に馴染み深いネットワークのレベルとリチュレーション数に基づく、代替の幅境界が提示された。
• 幅をパラメータとするネットワーク表示問題のFPTアルゴリズムが開発され、確立された幅境界を活用した。
• ネットワークにおける木の表示を表現するMSOL式は、連結性、閉路なし、四分木適合性の述語を用いており、入力サイズに依存しない固定長である。