[論文レビュー] Trefftz discontinuous Galerkin methods on unstructured meshes for the wave equation

Andrea Moiola|arXiv (Cornell University)|May 1, 2015

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 9被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、任意の面の向きを持つ非構造メッシュ上で波動方程式に対して空間–時間 Trefftz 非連続ガラーキン法を提示する。適切な定義、安定性、および DG および $L^2$ ノルムにおける最適な事前誤差境界を証明し、各要素で波動方程式を満たす Trefftz 基底関数のおかげで、高次精度と局所的で効率的な解法が可能となる半明示スキームにより、収束速度が向上する。

ABSTRACT

We describe and analyse a space-time Trefftz discontinuous Galerkin method for the wave equation. The method is defined for unstructured meshes whose internal faces need not be aligned to the space-time axes. We show that the scheme is well-posed and dissipative, and we prove a priori error bounds for general Trefftz discrete spaces. A concrete discretisation can be obtained using piecewise polynomials that satisfy the wave equation elementwise.

研究の動機と目的

• 非一致する空間–時間面を有する非構造メッシュ上で、波動方程式に対する安定かつ収束する空間–時間非連続ガラーキン法を開発すること。
• 既存の Trefftz DG 法を高次元およびより一般的なメッシュ（空間的・時間的面を含む）に拡張すること。
• 一般の Trefftz 離散空間に対して、DG ノルムおよび $L^2$ ノルムにおける事前誤差境界を証明すること。
• tent-pitching アルゴリズムを用いて、局所的・逐次的な解の更新が可能な半明示スキームとして、この手法が計算可能であることを示すこと。

提案手法

• 波動方程式の1階系形式を用い、変数 $v$（変位の時間微分）および ${\boldsymbol{\sigma}}$（変位の勾配）を導入する。
• すべての関数が各要素 $K \in \mathcal{T}_h$ において局所的に波動方程式を満たすように、Trefftz 離散空間 $\mathbf{V}(\mathcal{T}_h)$ を定義する。
• 弱形式ではメッシュの面上に数値フラックスを用い、ディリクレ、ノイマン、ロビン境界におけるペナルティ項による安定化を施す。
• エネルギー推定と双対性の議論により、このスキームが適切に定義されており、散逸的であることが示され、安定性と収束性が保証される。
• 空間的面条件を満たすメッシュのクラスに対して、tent-pitching アルゴリズムを用いて、半明示的かつ要素毎の解法戦略が可能である。
• 多項式波 $P_{\ell,j}({\mathbf{x}},t) = ({\mathbf{x}} \cdot {\mathbf{d}}_j - ct)^\ell$ の形で、多項式 Trefftz 空間を構築し、局所的な波動方程式の満たしを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の面の向きを持つ非構造空間–時間メッシュ上で、波動方程式に対して Trefftz 非連続ガラーキン法を定式化・解析することは可能か？
• RQ2 空間的・時間的面を含む一般のメッシュ条件下でも、提案された Trefftz-DG スキームは適切に定義され、安定しているか？
• RQ3 一般の Trefftz 離散空間に対して、DG ノルムおよび $L^2$ ノルムにおける事前誤差境界はどのように導出可能か？
• RQ4 どのようなメッシュ条件下で、Trefftz-DG 法が局所的・逐次的更新が可能な半明示スキームとして計算可能か？
• RQ5 自由度および多項式次数の観点から、Trefftz-DG 法の収束速度は、標準的な DG 法と比べてどのように異なるか？

主な発見

• 任意の Trefftz 離散空間に対して、Trefftz-DG 法は適切に定義され、散逸的であり、エネルギーおよび双対性の議論により安定性が証明された。
• DG ノルムにおける事前誤差境界が確立され、その境界は Trefftz 空間の近似性質とメッシュの正則性に依存する。
• 内部面がすべて空間的面であるメッシュ（例：tent-pitching アルゴリズムによって構築されたもの）に対して、局所的に計算可能で、要素毎に逐次的に更新可能な半明示的スキームが可能である。
• データおよび残差の $L^2$ ノルムが十分に小さい条件下で、誤差の $L^2$ ノルムは定数倍の上界で抑えられ、tent-pitched メッシュではこの条件が満たされることを確認した。
• 次数 $p$ の多項式 Trefftz 空間の次元は $\mathcal{O}(p^n)$ であり、全多項式空間 ($\mathcal{O}(p^{n+1})$) よりも著しく低減され、より高い計算効率が得られる。
• 解析的解に対しては $p$ に関して指数的収束が期待され、$n=1$ の場合、$h_K$ および $p$ に関して最適な代数的収束速度が証明され、標準的 DG 法よりも高い効率性を示した。