[論文レビュー] Trianalytic subvarieties of generalized Kummer varieties

D. Kaledin, Misha Verbitsky|ArXiv.org|Jan 9, 1998

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 6被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、2次元複素トーラス上の0次元部分スキームのヒルベルトスキームの変形として構成されるハイパーカーラー多様体である一般化されたクーマー多様体上における三重解析的部分多様体——すべてのハイパーカーラー複素構造に関して解析的である複素部分多様体——を調査する。主な結果は、一般の2次元トーラスに対して、対応する一般化されたクーマー多様体には非自明な三重解析的部分多様体が存在しないことである。これは、その一般の変形がまったく正則部分多様体を含まないことを示唆している。

ABSTRACT

Let $X$ be a hyperkaehler manifold. Trianalytic subvarieties of $X$ are subvarieties which are complex analytic with respect to all complex structures induced by the hyperkaehler structure. Given a 2-dimensional complex torus $T$, the Hilbert scheme $T^{[n]}$ classifying zero-dimensional subschemes of $T$ admits a hyperkaehler structure. A finite cover of $T^{[n]}$ is a product of $T$ and a simply connected hyperkaehler manifold $K^{[n-1]}$, called generalized Kummer variety. We show that for $T$ generic, the corresponding generalized Kummer variety has no trianalytic subvarieties. This implies that a generic deformation of the generalized Kummer variety has no proper complex subvarieties.

研究の動機と目的

• 2次元複素トーラス上の0次元部分スキームのヒルベルトスキームから生じるハイパーカーラー多様体である一般化されたクーマー多様体における三重解析的部分多様体を研究すること。
• このような多様体が、ハイパーカーラー族に属するすべての複素構造に関して解析的である正則部分多様体を有するかどうかを特定すること。
• 一般の2次元トーラスに対して、対応する一般化されたクーマー多様体に非自明な三重解析的部分多様体が存在しないことを確立すること。
• 一般の変形が正則部分多様体を含まないことを示唆する。
• 特に部分多様体構造の文脈において、ハイパーカーラー多様体の代数的・複素幾何的性質の理解に貢献すること。

提案手法

• 著者たちは、2次元複素トーラス $ T $ のヒルベルトスキーム $ T^{[n]} $ に備わるハイパーカーラー構造を分析し、3つの複素構造と整合するハイパーカーラー計量を備える。
• 単連結なハイパーカーラー多様体である一般化されたクーマー多様体 $ K^{[n-1]} $ は $ T^{[n]} $ の有限被覆であり、その三重解析的部分多様体を研究する。
• ハイパーカーラー多様体の理論とホロモルフィックシンプレクティック形式の性質を用いて、ハイパーカーラー三重複素構造の作用下での部分多様体の挙動を分析する。
• 変形理論と一般性の議論を用い、一般の $ T $ に対して、すべての族内複素構造に関して解析的であるような非自明な部分多様体は存在しないことを示す。
• 証明は、三重解析的部分多様体がハイパーカーラー変形に対して剛体的であること、および、それらが全ハイパーカーラー回転群を不変に保たなければならないという事実に依拠する。
• 背理法により、非自明な三重解析的部分多様体の存在を仮定し、それが一般性と矛盾する特別な幾何的制約を強いることを導く。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般の2次元トーラスから得られる一般化されたクーマー多様体は、非自明な三重解析的部分多様体を有するか？
• RQ2 一般化されたクーマー多様体の一般変形は、正則部分多様体を含むことができるか？
• RQ3 ハイパーカーラー構造は、すべての複素構造に関して解析的である部分多様体の存在をどのように制約するか？
• RQ4 2次元トーラス $ T $ の一般性が、$ K^{[n-1]} $ の代数的および複素解析的構造にどのように影響するか？
• RQ5 $ K^{[n-1]} $ に、ハイパーカーラー構造によって誘導されるすべての複素構造に関して複素解析的である非自明な部分多様体は存在するか？

主な発見

• 一般の2次元複素トーラス $ T $ に対して、対応する一般化されたクーマー多様体 $ K^{[n-1]} $ には非自明な三重解析的部分多様体が存在しない。
• 三重解析的部分多様体の不在は、$ K^{[n-1]} $ の一般変形がまったく正則部分多様体を含まないことを示唆する。
• この結果は、三重解析的部分多様体がハイパーカーラー変形に対して剛体的であること、および、基礎となるトーラスの一般性に起因する。
• 証明は、三重解析的部分多様体が全ハイパーカーラー回転群を不変に保たなければならないという事実に依拠する。これは一般性と矛盾する。
• ヒルベルトスキーム $ T^{[n]} $ は、$ T \times K^{[n-1]} $ に同型な有限被覆を持つ。$ K^{[n-1]} $ の構造は議論の中心的役割を果たす。
• 一般の $ T $ に対して $ K^{[n-1]} $ に三重解析的部分多様体が存在しないのは、ハイパーカーラー族に属するすべての複素構造に関して不変なホロモルフィックサイクルが存在しないことの結果である。