[論文レビュー] Triangle counting in dynamic graph streams

Laurent Bulteau, Vincent Froese+2 more|arXiv (Cornell University)|Apr 18, 2014

Complex Network Analysis Techniques参考文献 24被引用数 18

ひとこと要約

本稿では、辺の挿入と削除が可能な動的グラフストリームにおける三角形数の推定のための、新しいサンプリングベースのアルゴリズムを提示する。頂点三重項のサンプリングとグラフスパarsificationを組み合わせることで、トランジティビティ係数が定数であるグラフでは、エッジ更新あたり定数時間の処理時間を達成する。これは、このクラスに対しては初めてのこのようなアルゴリズムであり、従来の手法に比べて空間計算量と時間計算量が向上している。

ABSTRACT

Estimating the number of triangles in graph streams using a limited amount of memory has become a popular topic in the last decade. Different variations of the problem have been studied, depending on whether the graph edges are provided in an arbitrary order or as incidence lists. However, with a few exceptions, the algorithms have considered {\em insert-only} streams. We present a new algorithm estimating the number of triangles in {\em dynamic} graph streams where edges can be both inserted and deleted. We show that our algorithm achieves better time and space complexity than previous solutions for various graph classes, for example sparse graphs with a relatively small number of triangles. Also, for graphs with constant transitivity coefficient, a common situation in real graphs, this is the first algorithm achieving constant processing time per edge. The result is achieved by a novel approach combining sampling of vertex triples and sparsification of the input graph. In the course of the analysis of the algorithm we present a lower bound on the number of pairwise independent 2-paths in general graphs which might be of independent interest. At the end of the paper we discuss lower bounds on the space complexity of triangle counting algorithms that make no assumptions on the structure of the graph.

研究の動機と目的

• 辺の挿入と削除が可能な動的グラフストリームにおける効率的な三角形数カウントという未解決問題に取り組む。
• 特に三角形密度が低～中程度の実世界グラフを想定し、低空間・時間計算量を維持するストリーミングアルゴリズムを設計する。
• トランジティビティ係数が定数であるグラフにおいて、エッジ更新あたり定数時間の処理時間を達成する。これは実ネットワークで一般的な性質である。
• グラフ構造に依存しない、動的ストリームにおける三角形数カウントの理論的空間計算量下界を確立する。

提案手法

• 頂点三重項の均等サンプリングを用いて三角形数を推定する。エッジの削除が可能な動的ストリームに適応したアプローチを採用する。
• 三角形推定の正確性を保持しつつ、グラフサイズを縮小するための新規スパース化技術を適用する。
• エッジの挿入・削除を効率的に行い、再計算を最小限に抑える、コンactなスケッチを維持する。
• 理論的解析では、2パスのペアワイズ独立性カウントと確率的サンプリングを組み合わせ、推定誤差の上限を導出する。
• 通信複雑性における1ウェイ・インデックス問題への還元を用いて下界を導出。三角形が存在するグラフと三角形フリーのグラフを区別するには、少なくともΩ(m³/T₃²)ビットの空間が必要であることを示す。
• 実世界のグラフを用いた実験により、公開済みデータセットを用いて、空間計算量と時間計算量の比較評価がなされた。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 動的グラフストリームにおける三角形数カウントにおいて、エッジ更新あたり定数時間の処理時間を達成できるストリーミングアルゴリズムは存在するか？
• RQ2 動的ストリームにおける三角形数カウントの最適空間計算量は何か？また、グラフ構造にどのように依存するか？
• RQ3 サンプリングベースの手法は、エッジが削除される動的環境でも信頼性高く適用可能か？
• RQ4 トランジティビティ係数は、実世界のグラフにおける三角形数カウントの効率にどのように影響を与えるか？
• RQ5 グラフ構造に依存しない、動的ストリームにおける三角形数カウントの空間使用量の根本的限界は何か？

主な発見

• 提案されたアルゴリズムは、トランジティビティ係数が定数であるグラフにおいて、エッジ更新あたり定数時間の処理時間を達成しており、従来手法に比べて顕著な進展である。
• Facebook や DBLP、Astro-Ph などの実世界グラフにおいて、本アルゴリズムの空間使用量は従来手法よりも顕著に低く、表4の13のデータセットのうち7つで最低の空間使用量を記録した。
• 最悪ケースでは空間計算量が O(mn/T₃) であるが、トランジティビティ係数が定数である場合には著しく改善され、近似的に最適な性能を達成する。
• 動的ストリームにおける1パス三角形数カウントの理論的下界 Ω(m³/T₃²) ビットは、特定のグラフクラスにおける上界と一致しており、この下界がタイトであることを示している。
• 特に T₃ が m に対して大きい場合、スパarsなグラフにおいて、空間計算量と時間計算量の両面で既存手法を上回る性能を発揮する。
• 解析により、グラフ構造（特にトランジティビティ）に関する仮定が、効率的な三角形数カウントを達成するために不可欠であることが明らかになった。一般には、このような仮定なしでは効率的なアルゴリズムは存在しない。