[論文レビュー] Triangle-free Subgraphs of Hypergraphs

Jiaxi Nie, Sam Spiro+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 23, 2020

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 25被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、最大次数 $\triangle$ を持つ $r$-一様超グラフにおける最大の三角形-free部分超グラフのサイズに下界を確立し、それは $e(H)/\triangle^{(r-2)/(r-1)+o(1)}$ 以上であることを示している。$r=3$ の場合、この下界は $o(1)$ 項を除いてタイトであり、結果はランダム超グラフへと拡張可能である。ここで、$T^3$-free 部分超グラフにおける極値的な辺数が、高確率で $\tilde{O}(p^{1/3}n^2)$ であることが示された。

ABSTRACT

In this paper, we consider an analog of the well-studied extremal problem for triangle-free subgraphs of graphs for uniform hypergraphs. A loose triangle is a hypergraph $T$ consisting of three edges $e,f$ and $g$ such that $|e \cap f| = |f \cap g| = |g \cap e| = 1$ and $e \cap f \cap g = \emptyset$. We prove that if $H$ is an $n$-vertex $r$-uniform hypergraph with maximum degree $ riangle$, then as $ riangle ightarrow \infty$, the number of edges in a densest $T$-free subhypergraph of $H$ is at least \[ \frac{e(H)}{ riangle^{\frac{r-2}{r-1} + o(1)}}.\] For $r = 3$, this is tight up to the $o(1)$ term in the exponent. We also show that if $H$ is a random $n$-vertex triple system with edge-probability $p$ such that $pn^3 ightarrow\infty$ as $n ightarrow\infty$, then with high probability as $n ightarrow \infty$, the number of edges in a densest $T$-free subhypergraph is \[ \min\Bigl\{(1-o(1))p{n\choose3},p^{\frac{1}{3}}n^{2-o(1)}\Bigr\}.\] We use the method of containers together with probabilistic methods and a connection to the extremal problem for arithmetic progressions of length three due to Ruzsa and Szemerédi.

研究の動機と目的

• 三角形-free グラフの古典的ツーラン問題を、ほつれ三角形に注目した $r$-一様超グラフへ一般化すること。
• 最大次数が有界な与えられた $r$-グラフにおける $T^r$-free 部分超グラフの最大辺数を特定すること。
• ランダム $r$-一様超グラフ $G_{n,p}^r$ におけるこのような極値的部分グラフの挙動を分析すること。
• $r=3$ の場合のタイトな境界を確立し、$r\geq4$ の場合の境界のギャップを調査すること。
• ルツァ＝ツェメールェディの枠組みを用いて、極値問題と3項等差数列を含まない集合との関連を確立すること。

提案手法

• 超グラフコンテナの手法を用いて、$T^r$-free 部分超グラフの数を評価する。
• 確率論的手法を用いて、ランダム $r$-グラフ $G_{n,p}^r$ における $T^r$-free 部分グラフの期待値を分析する。
• 三角形-free 線形超グラフと3項等差数列を含まない集合との間のルツァ＝ツェメールェディの関連を活用する。
• エントロピーに基づく数え上げと指数的評価を用いて、$n$ 頂点と $m$ 辺を持つ $T^r$-free $r$-グラフの数に対する上界を導出する。
• マルコフの不等式を用いて、高確率で $G_{n,p}^r$ 内の $T^r$-free 部分グラフは特定のサイズを超えないことを示す。
• このような部分グラフの数と辺の確率をバランスさせることで、$\mathrm{ex}(G_{n,p}^r, T^r)$ の漸近的境界を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 最大次数 $\triangle$ を持つ $r$-一様超グラフにおける $T^r$-free 部分超グラフの最大辺数は何か？
• RQ2 ランダム $r$-グラフ $G_{n,p}^r$ における $T^3$-free 部分超グラフの極値的辺数はどのように振る舞うか？
• RQ3 $r \geq 4$ の場合、$\mathrm{ex}(G, T^r) \geq e(G)/\triangle^{(r-2)/(r-1)+o(1)}$ の境界を改善またはタイトにできるか？
• RQ4 一般の場合における極値関数 $\mathrm{ex}(G, T^r)$ の $\triangle$ への依存関係における正しい指数は何か？
• RQ5 $r \geq 4$ の場合、$G_{n,p}^r$ の $T^r$-free 部分グラフにおける極値的辺数は $p$ に対してどのようにスケーリングするか？

主な発見

• 任意の最大次数 $\triangle$ を持つ $r$-一様超グラフ $G$ に対して、$\triangle \to \infty$ のとき、最大の $T^r$-free 部分超グラフのサイズは $\mathrm{ex}(G, T^r) \geq e(G)/\triangle^{(r-2)/(r-1)+o(1)}$ を満たす。
• $r=3$ の場合、この下界は指数の $o(1)$ 項を除いてタイトであり、クライーク $K_t^3$ を用いた構成によって示された。
• ランダム $3$-一様超グラフ $G_{n,p}^3$ において、高確率で $\mathrm{ex}(G_{n,p}^3, T^3) = \min\left\{(1-o(1))p\binom{n}{3}, p^{1/3}n^{2-o(1)}\right\}$ が成り立つ。
• $r \geq 4$ の場合、既知の最良の下界は $\mathrm{ex}(G, T^r) = \Omega(\triangle^{-1/2}) \cdot e(G)$ であるが、真の指数は未解決のままである。
• $m = n^{3-\delta}$ のとき、$n$ 頂点と $m$ 辺を持つ $T^r$-free $r$-グラフの数は $\left(\frac{n^{r-1}}{m}\right)^{(1+o(1))m}$ で抑えられる。これにより極値的境界が得られる。
• $p = n^{-r+x}$ で $0 \leq x \leq r$ のとき、$G_{n,p}^r$ の $T^r$-free 部分グラフにおける期待極値的辺数は $f_r(x) = \lim_{n\to\infty} \log_n \mathbb{E}[\mathrm{ex}(G_{n,p}^r, T^r)]$ を満たし、$x \leq 3/2$ のとき $f_r(x) = x$、$x > 4$ のとき $f_r(x) = x-1$ であり、中間の境界も得られている。