[論文レビュー] Triangle packing in (sparse) tournaments: approximation and kernelization

Stéphane Bessy, Marin Bougeret+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 13, 2017

Advanced Graph Theory Research参考文献 5被引用数 5

ひとこと要約

本稿はスパースなトーナメントにおける三角形パッキングを研究し、P = NP でない限りPTASが存在しないことを証明するとともに、後向き弧長が少なくとも $c$ であるトーナメントに対して $(1 + \frac{6}{c-1})$-近似アルゴリズムを提示する。フィードバックアーキスセットサイズ $m$ に基づく $\mathcal{O}(m)$ 頂点カーネルを確立し、NP ⊆ coNP/Poly でない限り $\mathcal{O}(k^{2-\epsilon})$ サイズのカーネルは存在しないことを示し、一般のケースにおける $\mathcal{O}(k)$ カーネルの構築は未解決の課題のまま残っている。

ABSTRACT

Given a tournament T and a positive integer k, the C_3-Pakcing-T problem asks if there exists a least k (vertex-)disjoint directed 3-cycles in T. This is the dual problem in tournaments of the classical minimal feedback vertex set problem. Surprisingly C_3-Pakcing-T did not receive a lot of attention in the literature. We show that it does not admit a PTAS unless P=NP, even if we restrict the considered instances to sparse tournaments, that is tournaments with a feedback arc set (FAS) being a matching. Focusing on sparse tournaments we provide a (1+6/(c-1)) approximation algorithm for sparse tournaments having a linear representation where all the backward arcs have "length" at least c. Concerning kernelization, we show that C_3-Pakcing-T admits a kernel with O(m) vertices, where m is the size of a given feedback arc set. In particular, we derive a O(k) vertices kernel for C_3-Pakcing-T when restricted to sparse instances. On the negative size, we show that C_3-Pakcing-T does not admit a kernel of (total bit) size O(k^{2-ε}) unless NP is a subset of coNP / Poly. The existence of a kernel in O(k) vertices for C_3-Pakcing-T remains an open question.

研究の動機と目的

• トーナメントにおける三角形パッキング（C3-Packing-T）の近似可能性とカーネル化の複雑さを分析すること。
• 強力な近似不能性の結果を確立し、FASがマッチングであるスパースなトーナメントであっても、PTASが存在しないことを示すこと。
• 後向き弧長が少なくとも $c$ であるトーナメントに対して $(1 + \frac{6}{c-1})$-近似アルゴリズムを設計すること。
• フィードバックアーキスセットサイズ $m$ を根拠とする $\mathcal{O}(m)$ 頂点カーネルを提供するとともに、スパースなインスタンスに対して $\mathcal{O}(k)$ カーネルを提示すること。
• NP ⊆ coNP/Poly でない限り $\mathcal{O}(k^{2-\epsilon})$ サイズのカーネルは存在しないことを証明し、一般インスタンスにおける $\mathcal{O}(k)$ カーネルの可能性という未解決問題を浮き彫りにすること。

提案手法

• 難易度の高い問題への還元を用いて近似不能性を証明し、FASがマッチングであるスパースなトーナメントであっても、PTASが存在しないことを示すこと。
• 線形順序と後向き弧長 $c$ に基づく構造的分解を用いて、$(1 + \frac{6}{c-1})$-近似アルゴリズムを設計すること。
• サイズ $m$ のフィードバックアーキスセット $F$ を用いてトーナメントを簡約することで、解の同値性を保ちつつ $\mathcal{O}(m)$ サイズのカーネルを構築すること。
• 弱い合成定理を用いて、$\mathcal{O}(k^{2-\epsilon})$ サイズのカーネルが不可能であることを示すこと。
• $t$ 個のインスタンスを一つのトーナメントに統合する完全パッキング合成フレームワークを適用し、$g = \sqrt{t}$ および $P_{(n,g)}$、$M_G$、$K_q$ などの構造的コンponentsを活用すること。
• 構造的主張（例：命題7）を活用し、合成インスタンスに完全パッキングが存在するならば、その基盤インスタンスの一つに完全パッキングが存在することを示し、逆も成り立つことを示すこと。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 C3-Packing-T は、FASがマッチングであるスパースなトーナメントに対してもPTASを備えているか？
• RQ2 後向き弧長が少なくとも $c$ であるトーナメントに対して $(1 + \frac{6}{c-1})$-近似アルゴリズムが達成可能か？
• RQ3 一般のトーナメントにおけるC3-Packing-Tに対して $\mathcal{O}(k)$ カーネルが存在するか、それとも $\mathcal{O}(k)$ は達成不可能か？
• RQ4 C3-Packing-T のための最もタイトなカーネルサイズは何か？また、NP ⊆ coNP/Poly でない限り $\mathcal{O}(k^{2-\epsilon})$ サイズのカーネルは存在しないか？
• RQ5 カーネル化と近似のアプローチを統合することで、スパースなトーナメントに対して4/3より良い近似比が得られるか？

主な発見

• C3-Packing-T は、P = NP でない限り、FASがマッチングであるスパースなトーナメントに対してもPTASを備えない。
• 後向き弧長が少なくとも $c$ であるトーナメントに対して $(1 + \frac{6}{c-1})$-近似アルゴリズムが提示され、$c$ が大きくなるほど性能が向上する。
• フィードバックアーキスセットサイズ $m$ を根拠とする $\mathcal{O}(m)$ 頂点カーネルが構築され、スパースなインスタンスに対しては $\mathcal{O}(k)$ カーネルが導出された。
• NP ⊆ coNP/Poly でない限り、C3-Packing-T に対して $\mathcal{O}(k^{2-\epsilon})$ サイズのカーネルは存在しないことが証明され、強い下界が確立された。
• 一般のC3-Packing-Tに対して $\mathcal{O}(k)$ 頂点カーネルが存在するか否かは、未解決の課題のまま残っている。
• 合成インスタンスの構築により、全体のトーナメントに完全パッキングが存在するための必要十分条件が、ある基盤インスタンス $\mathcal{I}_{(p_0,q_0)}$ に完全パッキングが存在することであることが示され、カーネルサイズの下界が得られた。