[論文レビュー] Triangle Tiling I: The tile is similar to ABC or has a right angle

Michael Beeson|arXiv (Cornell University)|Jun 5, 2012

Quasicrystal Structures and Properties参考文献 6被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、三角形ABCが、同形なタイルTのN枚の合同コピーで敷き詰め可能であるための完全な特徴付けを提供する。主にTがABCに相似であるか、直角三角形である場合に注目している。線形代数、体論および初等幾何学を用いて、TがABCに相似であり、かつABCが直角三角形でも30-60-90三角形でもない場合、Nは完全平方でなければならないことを証明する。30-60-90三角形の場合、Nは平方数の3倍でもよい。Tが直角三角形である場合、Nは平方数の2倍または6倍でなければならない。TがABCに相似である場合には、Nは2つの平方数の和でもよい。

ABSTRACT

An N -tiling of triangle ABC by triangle T is a way of writing ABC as a union of N triangles congruent to T, overlapping only at their boundaries. The triangle T is the "tile'". The tile may or may not be similar to ABC . This paper is the first of several papers, which together seek a complete characterization of the triples (ABC,N,T) such that ABC can be N -tiled by T . In this paper, we consider the case in which the tile is similar to ABC, the case in which the tile is a right triangle, and the case when ABC is equilateral. We use (only) techniques from linear algebra and elementary field theory, as well as elementary geometry and trigonometry. Our results (in this paper) are as follows: When the tile is similar to ABC, we always have "quadratic tilings'" when N is a square. If the tile is similar to ABC and is not a right triangle, then N is a square. If N is a sum of two squares, N = e^2 + f^2, then a right triangle with legs e and f can be N -tiled by a tile similar to ABC ; these tilings are called "biquadratic". If the tile and ABC are 30-60-90 triangles, then N can also be three times a square. If T is similar to ABC, these are all the possible triples (ABC, T, N) . If the tile is a right triangle, of course it can tile a certain isosceles triangle when N is twice a square, and in some cases when N is six times a square. Equilateral triangles can be 3-tiled and 6-tiled and hence they can also be 3n^2 and 6n^2 tiled for any n . We also discovered a family of tilings when N is 3 times a square, which we call the "hexagonal tilings." These tilings exhaust all the possible triples (ABC, T, N) in case T is a right triangle or is similar to ABC . Other cases are treated in subsequent papers.

研究の動機と目的

• 三角形ABCが同形なタイルTによってN個の敷きつめが可能となるすべての三つ組(ABC, N, T)を完全に分類すること。
• TがABCに相似であるか、直角三角形である場合に、そのような敷きつめが存在するためのNの正確な値を特定すること。
• これらの条件下で、平方数、2つの平方数の和、または平方数の倍数といった特定の形式のNしか取り得ないことを確立すること。
• 初等的手法のみを用いて、代数的および幾何的解析を厳密に行い、それ以外のNの値をすべて除外すること。

提案手法

• 敷きつめの制約を分析し、Nに関する必要条件を導出するために線形代数および初等体論を用いる。
• 三角関数の恒等式および幾何的分解技術を適用して、さまざまなNについて明示的な敷きつめを構成する。
• 平行線による分割を用いて、ABCをn²個のより小さな相似三角形に分割することで「二次的敷きつめ」の概念を導入する。
• N = e² + f²のとき、「二重二次的敷きつめ」を定義し、辺がeとfである2つの直角三角形の部分敷きつめを用いる。
• ABCとTがともに30-60-90三角形である場合、N = 3m²のとき「六角形敷きつめ」を導入する。
• 部分敷きつめおよび合成的／素数的敷きつめの概念を用いて、再帰的かつ包括的な方法で敷きつめを分類する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ABCが直角三角形でも30-60-90三角形でもない場合、TがABCに相似であると仮定すると、どのNの値に対して三角形ABCがTによってN個の敷きつめが可能となるか？
• RQ2 Tが直角三角形であり、ABCが正三角形でない場合、Nの取りうる値は何か？
• RQ3 TがABCに相似であり、ABCが1つの鋭角の正接が有理数である直角三角形である場合、Nが2つの平方数の和となることは可能か？
• RQ4 正三角形が非相似な直角三角形によって敷き詰め可能か。その場合、どのNの値に対して成立するか？
• RQ5 Tが直角三角形またはABCに相似である場合に、N-敷きつめが存在するすべての三つ組(ABC, N, T)の完全な集合は何か？

主な発見

• TがABCに相似であり、ABCが直角三角形でも30-60-90三角形でもない場合、Nは完全平方でなければならない。
• Tが直角三角形であり、ABCが正三角形でない場合、Nは平方数の2倍、6倍、またはTがABCに相似である場合には2つの平方数の和でなければならない。
• 30-60-90三角形の場合、Nは平方数または平方数の3倍であり、これは「三重平方敷きつめ」に対応する。
• ABCが正三角形である場合、Nは3m²（二等辺タイルの場合）、6m²または2m²（30-60-90タイルの場合）、または完全平方（相似タイルの場合）でよい。
• N = e² + f²であり、Tが辺がeとfである直角三角形である場合、二重二次的敷きつめが存在する。
• 本稿は、類似または直角三角形のタイルに対して、分類されたもの以外の敷きつめは存在しないことを証明しており、すべての可能性を尽くしている。