[論文レビュー] Triangles in graphs without bipartite suspensions

Dhruv Mubayi, Sayan Mukherjee|arXiv (Cornell University)|Apr 24, 2020

Limits and Structures in Graph Theory被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、H が完全二部グラフ K_{a,b}、偶数サイクル C_{2k}、またはパス P_k である場合に、一般化されたトーラン数 ex(n, K₃, Ĥ) に対する改善された上界を確立する。ここで Ĥ はグラフ H のスパニオンである。三角形除去補題と近傍構造の構造的解析を用いて、ex(n, K₃, K̂_{1,a,b}) = o(n^{3−1/a}) および ex(n, K₃, K̂_{1,2,2}) = o(n^{5/2}) を証明し、従来の上界を著しく改善し、予想される二次上界に近づける。

ABSTRACT

Given graphs $T$ and $H$, the generalized Turán number ex$(n,T,H)$ is the maximum number of copies of $T$ in an $n$-vertex graph with no copies of $H$. Alon and Shikhelman, using a result of Erd\H os, determined the asymptotics of ex$(n,K_3,H)$ when the chromatic number of $H$ is greater than 3 and proved several results when $H$ is bipartite. We consider this problem when $H$ has chromatic number 3. Even this special case for the following relatively simple 3-chromatic graphs appears to be challenging. The suspension $\widehat H$ of a graph $H$ is the graph obtained from $H$ by adding a new vertex adjacent to all vertices of $H$. We give new upper and lower bounds on ex$(n,K_3,\widehat{H})$ when $H$ is a path, even cycle, or complete bipartite graph. One of the main tools we use is the triangle removal lemma, but it is unclear if much stronger statements can be proved without using the removal lemma.

研究の動機と目的

• 3色グラフ H のスパニオン Ĥ = K₁ ∨ H を含まない n 頂点グラフにおける三角形数のよりタイトな上界を求める。
• ex(n, K₃, K̂_{1,2,2}) が O(n²) であるかどうかという未解決問題に取り組み、超二次的上界と二次的下界を提示する。
• 既知の χ(H) > 3 および χ(H) = 2 の結果を超えて、特に困難な χ(H) = 3 の場合に注目し、分析を拡張する。
• 三角形除去補題と近傍構造の役割が、一般化トーラン問題における漸近的上界を改善するためにどのように寄与するかを調査する。

提案手法

• ex(n, K₃, Ĥ) ≤ (n/3) · ex(n, H) をベースラインとして用い、Ĥ 禁止グラフにおける近傍の構造的制約を組み込んで改良する。
• 三角形除去補題を適用し、三角形が少ないグラフは辺に依存しない三角形を有限個しか持たないことを示し、分解技法を可能にする。
• 三角形内の共通次数と辺の種別（軽量／重い）を分析し、辺の削除による帰納的上界を導出する。
• K_{a,b}-自由グラフに対する Kövari–Sós–Turán 定理と、C_{2k}-自由グラフに対する Bondy–Simonovits 界を用い、H = K_{a,b}、C_{2k}、P_k の場合に ex(n, H) を評価する。
• Jensen の不等式を用い、近傍次数の和を (α−1) 乗した量に対して、ex(n, H) = O(n^α) のもとで、全三角形数の上界を導出する。
• 定理 6.1 を用いて一般化：ex(n, H) = O(n^α) かつ 1 < α < 2 ならば、ex(n, K₃, Ĥ) = o(n^{1+α}) が成り立ち、H の種別にかかわらず一様な解析を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 固定された a ≥ 1、b ≥ a に対して、ex(n, K₃, K̂_{1,a,b}) = O(n^{3−1/a}) の上界を o(n^{3−1/a}) に改善できるか？
• RQ2 ex(n, K₃, K̂_{1,2,2}) は O(n²) か、それとも現在の o(n^{5/2}) 上界が示唆するように、二次より速く増加するか？
• RQ3 固定された k ≥ 3 に対して、ex(n, K₃, K̂_{P_k}) の真の漸近的成長は何か？また、二次的下界 Ω(n²) はタイトか？
• RQ4 このような一般化トーラン上界を証明する際に、三角形除去補題を回避できる程度は何か？あるいは、強力な結果を得るには不可欠か？
• RQ5 ex(n, H) = O(n^α) かつ 1 < α < 2 であるすべての H に対して、ex(n, K₃, Ĥ) = o(n^{1+α}) の上界を一様に確立できるか？

主な発見

• 固定された 1 ≤ a ≤ b に対して、ex(n, K₃, K̂_{1,a,b}) = o(n^{3−1/a}) が成り立ち、Kövari–Sós–Turán 定理による従来の O(n^{3−1/a}) 上界を改善する。
• H = C_{2k} の場合、ex(n, K₃, K̂_{C_{2k}}) = o(n^{2+1/k}) が成り立ち、Bondy–Simonovits の古典的 O(n^{2+1/k}) 上界を改善する。
• H = P_k（k ≥ 3）の場合、ex(n, K₃, K̂_{P_k}) ≥ ⌊(k−1)/2⌋ · n²/8 が成り立ち、n が 4⌊(k−1)/2⌋ で割り切れるとき、二次的下界が得られる。
• k = 3, 4, 5 の場合、ex(n, K₃, K̂_{P_k}) = ⌊(k−1)/2⌋ · n²/8 + o(n²) が成り立ち、この下界が漸近的にタイトであることが示される。
• 定理 6.1 により、一般化された結果が得られる：ex(n, H) = O(n^α) かつ 1 < α < 2 ならば、ex(n, K₃, Ĥ) = o(n^{1+α}) が成り立ち、H の種別にかかわらず一様な解析が可能になる。
• 本稿は、強い o(n^{1+α}) 上界を得るためには三角形除去補題が本質的であることを示しており、代替手法では不十分であることを示している。