[論文レビュー] Triangular Matrix Categories I: Dualizing Varieties and generalized one-point extension

Alicia León-Galeana, M. Ortiz-Morales+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 10, 2019

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 44被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、加法圏に対して三角行列圏を導入し、複数の対象を持つ環への三角行列代数の一般化を行う。2つの加法圏が双対的バリエティであり、双モジュールが特定の条件を満たす場合、得られる三角行列圏も双対的バリエティであることが確立され、Auslander–Reiten系列の存在が保証される。これは表現論における1点拡大の理論をカテゴリカルな設定に拡張するものである。

ABSTRACT

Following Mitchell's philosophy, in this paper we define the analogous of the triangular matrix algebra to the context of rings with several objects. Given two additive categories $\mathcal{U}$ and $\mathcal{T}$ and $M\in \mathsf{Mod}(\mathcal{U}\otimes \mathcal{T}^{op})$ we construct the triangular matrix category $\mathbfΛ:=\left[\begin{smallmatrix} \mathcal{T} & 0 \\ M & \mathcal{U} \end{smallmatrix} ight]$. First, we prove that there is an equivalence $\Big( \mathsf{Mod}(\mathcal{T}), \mathbb{G}\mathsf{Mod}(\mathcal{U})\Big) \simeq \mathrm{Mod}(\mathbfΛ)$. One of our main results is that if $\mathcal{U}$ and $\mathcal{T}$ are dualizing $K$-varieties and $M\in \mathsf{Mod}(\mathcal{U}\otimes \mathcal{T}^{op})$ satisfies certain conditions then $\mathbfΛ:=\left[\begin{smallmatrix} \mathcal{T} & 0 \\ M & \mathcal{U} \end{smallmatrix} ight]$ is a dualizing variety (see theorem 6.10). In particular, $\mathrm{mod}(\mathbfΛ)$ has Auslander-Reiten sequences. Finally, we apply the theory developed in this paper to quivers and give a generalization of the so called one-point extension algebra.

研究の動機と目的

• 加法圏を用いて、複数の対象を持つ環の文脈における三角行列代数を一般化すること。
• 加法圏 $\mathcal{U}, \mathcal{T}$ および双モジュール $M \in \mathsf{Mod}(\mathcal{U} \otimes \mathcal{T}^{op})$ に対して、三角行列圏 $\mathbf{\Lambda} = \left[\begin{smallmatrix}\mathcal{T}&0\\ M&\mathcal{U}\end{smallmatrix}\right]$ を定義すること。
• 三角行列圏 $\mathbf{\Lambda}$ が双対的バリエティとなるための条件を確立し、ホモロジー的双対性とAuslander–Reiten系列の存在を保証すること。
• 表現論における古典的な1点拡大構成を、カテゴリカルおよび関手的枠組みへ一般化すること。

提案手法

• 三角行列圏 $\mathbf{\Lambda}$ を、$f: M \otimes_{\mathcal{T}} A \to B$ が $\mathcal{U}$-加群における準同形であるような三つ組 $(A, B, f)$ のコマの類似の圏として構成する。
• $\Big{(}\mathsf{Mod}(\mathcal{T}), \mathbb{G}\mathsf{Mod}(\mathcal{U})\Big{)} \simeq \mathrm{Mod}(\mathbf{\Lambda})$ の同値関係を確立し、$\mathcal{T}$ および $\mathcal{U}$ 上の加群圏を $\mathbf{\Lambda}$ 上の加群圏に結びつける。
• 双対的 $K$-バリエティの概念を用い、圏 $\mathcal{C}$ に対して $\mathrm{mod}(\mathcal{C})$ と $\mathrm{mod}(\mathcal{C}^{op})$ の間の双対関手が必要であると仮定する。
• 導来函手 $L^n$ および Ext 函手を用いて、$\mathrm{Ext}^n_{\mathcal{C}}(-,C)$ と $\mathrm{Ext}^n_{\mathcal{C}}(C,-)$ が有限生成であることを確認し、双対的性質を保証する。
• 圏 $\mathcal{C}$ が双対的バリエティであるとき、三角行列圏 $\left[\begin{smallmatrix}\mathcal{C}&0\\ \widehat{\mathbbm{Hom}}\\ \mathcal{C}\end{smallmatrix}\right]$ が双対的バリエティであることを証明する。
• 導来函手の同型 $\mathbb{D}_{\mathcal{C}^{op}}\overline{\mathbb{F}}(B) \simeq L^n(\mathbb{D}_{\mathcal{C}^{op}}(B))$ を用いて、行列圏における双対性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 加法圏 $\mathcal{U}$ および $\mathcal{T}$ が双対的 $K$-バリエティであるとき、三角行列圏 $\mathbf{\Lambda} = \left[\begin{smallmatrix}\mathcal{T}&0\\ M&\mathcal{U}\end{smallmatrix}\right]$ が双対的バリエティとなる条件は何か？
• RQ2 表現論における古典的な1点拡大構成は、加法圏および関手圏の文脈にどのように一般化できるか？
• RQ3 導来函手 $L^n$ および $\mathrm{Ext}^n$ は、三角行列圏の双対的性質を保証するために果たす役割は何か？
• RQ4 モジュール間の写像（例えば単射や全射）の圏は、双対的構造を持つ三角行列圏として実現可能か？
• RQ5 $\mathcal{C}$ 上の双対関手と、行列圏 $\left[\begin{smallmatrix}\mathcal{C}&0\\ \widehat{\mathbbm{Ext}^n}\\ \mathcal{C}\end{smallmatrix}\right]$ に誘導される双対関手との関係は何か？

主な発見

• 加法圏 $\mathcal{U}$ および $\mathcal{T}$ が双対的 $K$-バリエティであり、$M$ が特定の有限性および表現可能性条件を満たす場合、三角行列圏 $\mathbf{\Lambda} = \left[\begin{smallmatrix}\mathcal{T}&0\\ M&\mathcal{U}\end{smallmatrix}\right]$ は双対的バリエティである。
• 同値関係 $\Big{(}\mathsf{Mod}(\mathcal{T}), \mathbb{G}\mathsf{Mod}(\mathcal{U})\Big{)} \simeq \mathrm{Mod}(\mathbf{\Lambda})$ が成り立つ。これは、行列環上の加群圏を一般化する。
• 圏 $\mathcal{C}$ が双対的 $K$-バリエティであるならば、$\left[\begin{smallmatrix}\mathcal{C}&0\\ \widehat{\mathbbm{Hom}}\\ \mathcal{C}\end{smallmatrix}\right]$ は双対的バリエティである。
• 双対的 $K$-バリエティ $\mathcal{C}$ が十分な射影的対象を持つとき、$\left[\begin{smallmatrix}\mathcal{C}&0\\ \widehat{\mathbbm{Ext}^n}\\ \mathcal{C}\end{smallmatrix}\right]$ は双対的である。ただし、すべての $C \in \mathcal{C}$ に対して $\mathrm{Ext}^n_{\mathcal{C}}(-,C)$ と $\mathrm{Ext}^n_{\mathcal{C}}(C,-)$ が有限生成であることが条件である。
• 行列圏上の双対関手は、$\mathbb{D}_{\mathcal{C}^{op}}(B)$ が右完全である場合、$\mathbb{D}_{\mathcal{C}^{op}}\overline{\mathbb{F}}(B) \simeq L^n(\mathbb{D}_{\mathcal{C}^{op}}(B))$ を満たす。
• 特に $n=1$ の場合、圏 $\left[\begin{smallmatrix}\mathcal{C}&0\\ \widehat{\mathbbm{Ext}^1}\\ \mathcal{C}\end{smallmatrix}\right]$ は双対的であり、双対性は第一の導来函手と整合する。