[論文レビュー] Triangulated categories of mixed motives

Denis-Charles Cisinski, Frédéric Déglise|Dec 10, 2009

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ひとこと要約

本稿は、有限次元のネーター的スキーム上における混合モチーフの三角圏を構成し、体上のヴォエバドスキーの枠組みを拡張する。有理数係数におけるグロテンディークの6操作形式的体系を、降下理論、代数的K理論における特異点の解消（変形を用いた）、およびクイレンのK理論局在化定理を用いて確立し、絶対純粋性定理と、構成可能モチーフ層に対するグロテンディーク＝ベルディエール双対性のバージョンを証明する。

ABSTRACT

This book discusses the construction of triangulated categories of mixed motives over a noetherian scheme of finite dimension, extending Voevodsky's definition of motives over a field. In particular, it is shown that motives with rational coefficients satisfy the formalism of the six operations of Grothendieck. This is achieved by studying descent properties of motives, as well as by comparing different presentations of these categories, following and extending insights and constructions of Deligne, Beilinson, Bloch, Thomason, Gabber, Levine, Morel, Voevodsky, Ayoub, Spitzweck, Röndigs, Østvær, and others. In particular, the relation of motives with $K$-theory is addressed in full, and we prove the absolute purity theorem with rational coefficients, using Quillen's localization theorem in algebraic $K$-theory together with a variation on the Grothendieck-Riemann-Roch theorem. Using resolution of singularities via alterations of de Jong-Gabber, this leads to a version of Grothendieck-Verdier duality for constructible motivic sheaves with rational coefficients over rather general base schemes. We also study versions with integral coefficients, constructed via sheaves with transfers, for which we obtain partial results. Finally, we associate to any mixed Weil cohomology a system of categories of coefficients and well behaved realization functors, establishing a correspondence between mixed Weil cohomologies and suitable systems of coefficients. The results of this book have already served as ground reference in many subsequent works on motivic sheaves and their realizations, and pointers to the most recent developments of the theory are given in the introduction.

研究の動機と目的

• 体上のヴォエバドスキーのモチーフ理論を、有限次元の一般のネーター的スキーム上での混合モチーフへ拡張すること。
• 代数的幾何学における有理数係数モチーフに対するグロテンディークの6操作形式的体系を確立すること。
• 代数的K理論におけるクイレンの局在化定理と、グロテンディーク＝リーマン・ロッホの変種を用いて、絶対純粋性定理を証明すること。
• 一般の底スキーム上における有理数係数の構成可能モチーフ層に対するグロテンディーク＝ベルディエール双対性のバージョンを開発すること。
• 適切に振る舞う実現関手を通じて、混合ウェイルコホノロジーと係数系との関係を特定すること。

提案手法

• 移動を持つ層とニスネヴィッチ位相を用い、モデルカテゴリの技法により混合モチーフの三角圏を構成する。
• ホモトピー的不変性および局在化の性質を保証するため、P-ファイバー付きカテゴリおよびハイパーカバーに対する降下理論を適用する。
• デ・ジョン＝ガッパーの変形を用いた特異点の解消を用いて、純粋性および双対性の結果を確立する。
• 代数的K理論におけるクイレンの局在化定理を用いて、有理数係数における絶対純粋性定理を証明する。
• モチーフ的設定においてチャーン類とプッシュフォワードを関連付けるために、グロテンディーク＝リーマン・ロッホ定理の変種を導入する。
• 係数系を通じて、モチーフ的圏から混合ウェイルコホノロジーへの実現関手を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ヴォエバドスキーの体上のモチーフ的複体は、任意の有限次元ネーター的スキーム上での混合モチーフへどのように一般化できるか？
• RQ2 一般の底スキーム上における有理数係数モチーフに対して、グロテンディークの6操作形式的体系は成立するか？
• RQ3 代数的K理論と特異点の解消を用いて、モチーフ的設定において絶対純粋性定理を証明できるか？
• RQ4 モチーフ的枠組みにおいて、混合ウェイルコホノロジーと係数系の関係は何か？
• RQ5 整数係数モチーフはどの程度6操作形式的体系を満たし、その制限は何か？

主な発見

• 有限次元のネーター的スキーム上における有理数係数の混合モチーフの三角圏は、完全なグロテンディークの6操作形式的体系を備える。
• 有理数係数のモチーフ的層に対して絶対純粋性定理が成り立ち、クイレンの局在化定理と修正されたグロテンディーク＝リーマン・ロッホ定理を用いて証明される。
• 変形を用いることで、一般の底スキーム上における有理数係数の構成可能モチーフ的層に対して、グロテンディーク＝ベルディエール双対性のバージョンが確立される。
• 混合ウェイルコホノロジーと係数系との間に対応関係が確立され、モチーフ的圏からwell-behavedな実現関手が得られる。
• 整数係数の場合、移動を持つ層による構成により三角圏が得られるが、6操作形式的体系は部分的にしか成立しない。
• これらの結果は、エタールモチーフ、モチーフ的安定ホモトピー論、および拡張された実現の分野における、その後の発展の基盤となる。