[論文レビュー] Triangulated categories with a single compact generator and two Brown representability theorems

Amnon Neeman|arXiv (Cornell University)|Apr 6, 2018

Algebraic structures and combinatorial models被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、単一のコンパクト生成子と近似可能性条件を備えた三角関手カテゴリに対して、一般化されたブラウン表現定理を確立し、有界な俉層の導来カテゴリから、完全複体上の有限 R-線形ホモロジカル関手のカテゴリへのヤオの埋め込みが同値であることを証明する。この結果は、ボンダルとヴァン・デン・ベルクの定理をネーター環上のスキームへ拡張し、導来代数的幾何における表現可能性の基礎的ツールを提供する。

ABSTRACT

We develop the general formalism of approximable triangulated categories, and prove two representability theorems.

研究の動機と目的

• 体上のスキームの導来カテゴリに関するボンダルとヴァン・デン・ベルクの表現可能性定理を、任意のネーター環上のスキームへ一般化すること。
• コプロダクトを備えた三角関手カテゴリ、単一のコンパクト生成子、および近似可能性条件を備えた抽象的設定において、表現可能性定理を確立すること。
• 標準的導来カテゴリ（例えば、$\mathbf{D}^b_{\mathrm{coh}}(X)$）の構造的特徴付けを、三角関手カテゴリ論的用語のみを用いて行うこと。
• ジャック・ホールのガガ的定理のための技術的基盤を強化することで、利用可能な表現可能性結果を強化すること。
• $\mathbf{D}^b_{\mathrm{coh}}(X)$ から $\mathbf{D}^{\mathrm{perf}}(X)^{\mathrm{op}}$ 上の有限 $R$-線形ホモロジカル関手へのヤオ関手が、弱い条件下で同値であることを示すこと。

提案手法

• コプロダクトと単一のコンパクト生成子を備えた三角関手カテゴリにおける近似可能性の概念を導入し、t-構造およびホモロジカル関手と整合性を持つように保証すること。
• $\mathscr{B}$ における $G$-局所有限および $G$-有限なコホモロジカル関手を定義し、生成子 $G$ のシフトにおける有限 $R$-加群値を要求し、十分に負または正のシフトで消失することを要請する。
• 近似可能性および有限性条件の下で、制限ヤオ関手 $\mathscr{Y}: \mathscr{T} \to \mathrm{Hom}((\mathscr{T}^c)^{\mathrm{op}}, R\textup{--mod})$ がfully faithfulかつessentially surjectiveであることを証明する。
• 完全性、忠実性、および $\mathrm{Hom}(\mathscr{L}(P), -)^\perp = 0$ を満たし、ホモロジカル集合上で同型であるような生成集合 $P$ を含む、関手の同値性の基準（補題 A.1）を用いる。
• 主な表現可能性定理を解析的化関手 $\mathbf{D}^b_{\mathrm{coh}}(X) \to \mathbf{D}^b_{\mathrm{coh}}(X^{\mathrm{an}})$ に適用し、基準により右随伴を備え、同値であることを示す。
• 閉点に台を持つシフトされた完全複体の生成集合 $P$ が補題 A.1 の条件を満たすことを検証し、同値性基準の適用を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ボンダルとヴァン・デン・ベルクの表現可能性定理は、体上のスキームに限らず、任意のネーター環上のスキームへ一般化可能か？
• RQ2 単一のコンパクト生成子を備えた三角関手カテゴリにおいて、ヤオの埋め込みが有限 $R$-線形ホモロジカル関手への同値であることを保証する構造的条件は何か？
• RQ3 近似可能性の概念はどのように定義され、抽象的三角関手カテゴリにおける表現可能性定理の導出に応用されるか？
• RQ4 表現可能性定理は、ガガ的定理のような代数幾何における導来カテゴリの同値性を示すために、どの程度利用可能か？
• RQ5 生成集合における挙動およびホモロジカル集合と直交性との整合性が与えられたとき、どの条件が三角関手関手が同値であることを保証するか？

主な発見

• $X$ がネーター環 $R$ に相対的に固有であるとき、$\mathbf{D}^b_{\mathrm{coh}}(X)$ から $\mathbf{D}^{\mathrm{perf}}(X)^{\mathrm{op}}$ 上の有限 $R$-線形ホモロジカル関手のカテゴリへのヤオ写像は同値である。
• 準コンパクトかつ分離スキーム $X$ に対して、カテゴリ $\mathbf{D}_{\mathrm{qc}}(X)$ は近似可能であるため、主な表現可能性定理の適用が可能である。
• スペクトルのホモトピー圏および負の次数を持つdg代数の導来カテゴリも近似可能であり、結果の適用範囲が拡張される。
• 解析的化関手 $\mathbf{D}^b_{\mathrm{coh}}(X) \to \mathbf{D}^b_{\mathrm{coh}}(X^{\mathrm{an}})$ は、主定理および補題 A.1 の基準により同値であることが示された。
• 証明技法は、最小限のデータ（具体的には、閉点に台を持つ完全複体の生成集合 $P$）に集中しており、これにより、ターゲットカテゴリの完全な知識がなくても同値性が確立可能である。
• 結果は、ガガ的定理のさまざまな特殊ケースを統一し、三角関手カテゴリにおける単一の表現可能性原理の特別な場合として示している。