[論文レビュー] Triple correlations of Fourier coefficients of cusp forms

Yongxiao Lin|arXiv (Cornell University)|Jul 11, 2016

Analytic Number Theory Research参考文献 3被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、スペクトル的技法とクズネツォフのトレース公式を用いて、正則尖型形式のフーリエ係数の三重相関に関する非自明な上界を確立する。和 $∑_{H\leq h\leq 2H}W\left(\frac{h}{H}\right)\sum_{X\leq n\leq 2X}\lambda_1(n-h)\lambda_2(n)\lambda_3(n+h)$ は、$X^{\varepsilon}\min\left(XH,\frac{X^2}{H^{1/2}}\right)$ で有界であり、これは $H \geq X^{2/3+\varepsilon}$ のとき非自明である。これは、除数関数に関するブローマーの結果の尖型形式版を提供する。

ABSTRACT

We treat an unbalanced shifted convolution sum of Fourier coefficients of cusp forms. As a consequence, we obtain an upper bound for correlation of three Hecke eigenvalues of holomorphic cusp forms $\sum_{H\leq h\leq 2H}W\big(\frac{h}{H}\big)\sum_{X\leq n\leq 2X}λ_{1}(n-h)λ_{2}(n)λ_{3}(n+h)$, which is nontrivial provided that $H\geq X^{2/3+\varepsilon}$. The result can be viewed as a cuspidal analogue of a recent result of Blomer on triple correlations of divisor functions.

研究の動機と目的

• 除数関数の三重相関に関するブローマーの結果の尖型形式版を確立すること。
• 正則尖型形式の三つのヘッケ固有値の非対称シフト畳み込み和を分析すること。
• 条件 $H \geq X^{2/3+\varepsilon}$ の下で三重相関和の非自明な上界を導出すること。
• 除数関数とは異なり、尖型形式のフーリエ係数に乗法的分解がないことによる技術的困難を克服すること。

提案手法

• マッス形式のスペクトル和への変換のため、クズネツォフのトレース公式の適用。
• 円法およびボロノイ和公式を用いて、シフト畳み込み構造を扱うこと。
• 大篩不等式およびベッセル関数の評価を用いてスペクトル和を推定すること。
• 停留化位相および指数和推定を用いて、振動的積分を制御すること。
• スペクトル展開における誤差項を制御するため、係数列の $\ell^2$-ノルムの使用。
• 除数関数の設定におけるブローマーのアプローチを尖型形式設定に適応するが、乗法的分解の不在に起因する修正を加える。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正則尖型形式のフーリエ係数の三重相関に対して非自明な上界を確立できるか？
• RQ2 非自明性の範囲である $H$ の範囲は、除数関数の場合と比べてどう異なるか？
• RQ3 イーゼンスタイン級数から尖型形式へのブローマーの手法の拡張における主な解析的障害は何か？
• RQ4 乗法的構造の欠如の下でも、スペクトル的技法およびクズネツォフのトレース公式が有効な上界を導けるか？

主な発見

• 和 $\sum_{h}W\left(\frac{h}{H}\right)\sum_{X\leq n\leq 2X}a(n)\lambda_1(n+h)\lambda_2(n-h)$ は、$X^{\varepsilon}\frac{X}{H}\left((XH)^{1/2}+\frac{X}{H^{1/2}}\right)\|a\|_{2}$ で有界である。
• この上界は $H \geq X^{2/3+\varepsilon}$ のとき非自明であり、除数関数の場合の $H \geq X^{1/3+\varepsilon}$ の範囲より弱い。
• 結果はスペクトル的技法およびクズネツォフのトレース公式を用いて得られ、誤差項は大篩不等式および $\ell^2$-ノルム推定によって制御されている。
• 主な困難は、除数関数の場合のように尖型形式のフーリエ係数を分解できないことであり、これが $H$ の範囲を制限している。
• この上界は、ブローマーの結果におけるスペクトル項のオーダーと一致しており、スペクトル寄与が主要な誤差要因であることを示している。