[論文レビュー] Triple crossing numbers of graphs

Hiroyuki Tanaka, Masakazu Teragaito|arXiv (Cornell University)|Feb 23, 2010

Computational Geometry and Mesh Generation参考文献 5被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、三重交差のみを許す図形において、三重交差点の最小数として定義されるグラフの三重交差数（tcr）を導入する。すべての完全多部グラフについてtcrを特定し、t ≥ 5個の部集合を持つ場合tcr(G) = ∞であることを示し、t ≤ 4の場合の正確な値を提示している。特に、tcr(K_{n,3}) = 2（n ≥ 7）およびtcr(K_{6,1,1,1}) = 2が得られている。

ABSTRACT

We introduce the triple crossing number, a variation of crossing number, of a graph, which is the minimal number of crossing points in all drawings with only triple crossings of the graph. It is defined to be zero for a planar graph, and to be infinite unless a graph admits a drawing with only triple crossings. In this paper, we determine the triple crossing numbers for all complete multipartite graphs including all complete graphs.

研究の動機と目的

• 三重交差のみを許す図形に基づく新しいグラフ不変量として、三重交差数（tcr）を定義・形式化すること。
• 完全多部グラフのうち、三重交差のみを許す半正則図形が存在するものを特定すること。
• 特にt ≤ 4の完全多部グラフK_{n₁,…,nₜ}について、tcr(G)の正確な値を計算すること。
• 幾何的および組合せ的議論を用いて、完全多部グラフが有限tcrを持つための必要十分条件を確立すること。
• n重交差数への一般化を試み、非平面グラフに対する意味を議論すること。

提案手法

• tcr(G)を、Gの半正則図形における三重交差点の最小数として定義し、そのような図形が存在しない場合はtcr(G) = ∞とする。
• q > 3p - 6（qは辺数、pは頂点数）であればtcr(G) = ∞であることを、補題2.3を用いて示す。
• オイラーの公式と面数の数え上げ（補題2.4を用いて）を用い、三重交差点を頂点に置き換えた平面グラフの構造を分析する。
• 幾何的議論を用いて、K_{5,4}、K_{4,4}、K_{5,3}、およびn ≥ 7のK_{n,3}など、特定の完全二部グラフが半正則図形を持たないことを示す。
• K_{3,1,1,1}、K_{4,1,1,1}、K_{6,1,1,1}などの図形を明示的に構成し、三重交差点を最小化することでtcr = 1または2であることを検証する。
• 部集合のサイズに基づく場合分けを用いて、三部グラフおよび四部グラフへのアプローチを一般化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの完全多部グラフに対して、三重交差のみを許す半正則図形が存在するか？
• RQ2 t ≤ 4個の部集合を持つ完全多部グラフの三重交差数の正確な値は何か？
• RQ3 なぜt ≥ 5個の部集合を持つ完全多部グラフは三重交差数が無限大になるのか？
• RQ4 m = 3の場合の完全二部グラフK_{n,m}の三重交差数は計算可能か？
• RQ5 三重交差数は、古典的交差数やn重交差数などの他の変種とどのように関係するか？

主な発見

• 完全多部グラフK_{n₁,…,nₜ}の三重交差数は、t ≥ 5のとき、辺数が3p - 6を超えるためtcr(G) = ∞である。
• t = 4の場合、n₁, n₂, n₃, n₄のいずれかが3以上であればtcr(K_{n₁,n₂,n₃,n₄}) = ∞であるが、K_{3,1,1,1}およびK_{4,1,1,1}を除く。これら2つはtcr = 1である。
• K_{6,1,1,1}の三重交差数は2である。明示的図形と既知のtcr(K_{6,3}) = 2により確認されている。
• 三部グラフK_{n₁,n₂,n₃}について、n₃ ≥ 3、またはn₃ = 2で(n₁,n₂) ≠ (2,2)、またはn₃ = 1でn₂ ≥ 4、または(n₂ = 3でn₁ ≥ 4)の場合はtcr(G) = ∞である。
• tcr(K_{3,3,1}) = 1、tcr(K_{3,2,1}) = 1、tcr(K_{4,2,1}) = 1、およびtcr(K_{6,2,1}) = 2は、幾何的構成とK_{n,3}への還元により得られている。
• 三重交差数は、tcr(G) = 0であるのはGが平面グラフであるときかつそのときに限り成り立ち、一般にtcr(G) ≤ cr(G)/3が成り立つ。これは三重交差点を3つの二重交差点にずらすことで得られる。