[論文レビュー] Triple cyclic codes over $\mathbb{Z}_2$

Hojjat Mostafanasab|arXiv (Cornell University)|Sep 17, 2015

Coding theory and cryptography参考文献 7被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、積環上の $ℤ_2[x]$-部分加群としての $ℤ_2$ 上の三重巡回符号を導入し、生成多項式および最小生成集合を用いてその構造を特徴づける。主な貢献は、双対符号の完全な特徴づけであり、双対生成子と次元関係の明示的公式を含む。これは、二重巡回符号に関する先行研究を一般化するものである。

ABSTRACT

Let $r,s,t$ be three positive integers and $\mathcal{C}$ be a binary linear code of lenght $r+s+t$. We say that $\mathcal{C}$ is a triple cyclic code of lenght $(r,s,t)$ over $\mathbb{Z}_2$ if the set of coordinates can be partitioned into three parts that any cyclic shift of the coordinates of the parts leaves invariant the code. These codes can be considered as $\mathbb{Z}_2[x]$-submodules of $\frac{\mathbb{Z}_2[x]}{\langle x^r-1 angle} imes\frac{\mathbb{Z}_2[x]}{\langle x^s-1 angle} imes\frac{\mathbb{Z}_2[x]}{\langle x^t-1 angle}$. We give the minimal generating sets of this kind of codes. Also, we determine the relationship between the generators of triple cyclic codes and their duals.

研究の動機と目的

• 三重巡回符号を $ℤ_2[x]$-部分加群として、商環の積上の代数的構造を定義し形式化すること。
• これらの符号の最小生成集合および生成多項式を特定し、二重巡回符号の理論を拡張すること。
• 双対性理論を完全に確立し、双対符号生成子と次元公式の明示的式を含めること。
• 既知の二重巡回符号に関する結果を、特に $ℤ_2$-線形符号の文脈において三重の場合に一般化すること。

提案手法

• 長さ $r$, $s$, $t$ の三つの互いに disjoint な座標ブロック内での巡回シフト不変性を満たす線形符号として三重巡回符号を定義する。
• 符号を $ℤ_2[x]/⌈ x^r-1⌉ \times ℤ_2[x]/⌈ x^s-1⌉ \times ℤ_2[x]/⌈ x^t-1⌉$ 上の $ℤ_2[x]$-部分加群として表現する。
• 多項式乗算 $*$ を用いて巡回シフトをモデル化し、$x * c(x)$ が符号語 $c(x)$ の巡回シフトに対応するようにする。
• 生成多項式 $F_1(x), F_2(x), G_1(x), G_3(x)$ を用いて符号を特徴づけ、多項式の GCD および商構造を用いて最小生成集合を導出する。
• 逆多項式および GCD 恒等式を用いて、双対符号生成子 $̂{F_1}(x), ̂{F_2}(x), ̂{G_1}(x), ̂{G_2}(x), ̂{G_3}(x)$ を導出することにより双対性を確立する。
• パリティーチェック行列のランク解析および生成子の次数関係を用いて、双対符号の射影の次元公式を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 三重巡回符号を $ℤ_2[x]$-部分加群として、どのように形式的に定義し、代数的構造を特徴づけることができるか？
• RQ2 このような符号の最小生成集合および生成多項式は何か？ また、それらは成分の巡回符号とどのように関係するか？
• RQ3 三重巡回符号の生成子とその双対符号の生成子との間の正確な関係は何か？
• RQ4 双対符号の射影の次元は、元の生成子の次数とどのように関係するか？
• RQ5 二重巡回符号の双対性理論を、明示的公式を含めて三重の場合に拡張できるか？

主な発見

• 三重巡回符号は、$ℤ_2[x]/⌈ x^r-1⌉ \times ℤ_2[x]/⌈ x^s-1⌉ \times ℤ_2[x]/⌈ x^t-1⌉$ 上の $ℤ_2[x]$-部分加群であり、各ブロック内での巡回シフト不変性を満たす。
• 三重巡回符号の最小距離は $d(Χ) \geq \min\{d(Χ_r), d(Χ_s), d(Χ_t)\}$ を満たし、符号が分離可能である場合には等号が成り立つ。
• 符号 $Χ = \langle (F_1(x)\mid 0\mid 0), (0\mid F_2(x)\mid 0), (G_1(x)\mid 0\mid G_3(x)) \rangle$ に対して、双対符号の射影のサイズはそれぞれ $2^{\deg(F_1(x))}$, $2^{\deg(F_2(x))}$, および $2^{\deg(G_3(x)) + \kappa}$ である。ここで $\kappa = \deg(F_1(x)) - \deg(\gcd(F_1(x), G_1(x)))$ である。
• 双対生成子 $\widehat{G_3}(x)$ の次数は $\deg(\widehat{G_3}(x)) = t - \deg(G_3(x)) - \deg(F_1(x)) + \deg(\gcd(F_1(x), G_1(x)))$ で与えられる。
• 双対生成子 $\widehat{G_3}(x)$ は、$\widehat{G_3}(x) = \frac{(x^t - 1) \gcd(F_1^*(x), G_1^*(x))}{F_1^*(x) G_3^*(x)}$ を $x^t - 1$ を法として明示的に与えることができる。
• 生成子 $\widehat{G_1}(x)$ は、$\nu(x)$, $\zeta(x)$, および逆多項式を含む合同式関係を満たし、$\nu(x) = x^{m - \deg(G_3(x)) + \deg(G_1(x))} (\zeta^*(x))^{-1}$ が $\frac{F_1^*(x)}{\gcd(F_1^*(x), G_1^*(x))}$ を法として成り立つ。