[論文レビュー] Triple Massey products in Galois cohomology

Eliyahu Matzri|arXiv (Cornell University)|Nov 15, 2014

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 11被引用数 14

ひとこと要約

この論文は、任意の原始的p乗根を含む体Fのmod-pガロアコホモロジーにおける三重マッセイ積が、常に0を含むことを証明し、MináčとTânの予想を確認する。H^2(G_F)とブレーレル群のp torsion部の同型を用いて、明示的なアーベル交叉積代数を構成し、それらがカップ積の像に属する要素を表すことを示すことで、すべての素数pおよびこのような体Fに対して、マッセイ積の消滅性を確立する。

ABSTRACT

Fix an arbitrary prime $p$. Let $F$ be a field, containing a primitive $p$-th root of unity, with absolute Galois group $G_F$. The triple Massey product (in the mod-$p$ Galois cohomology) is a partially defined, multi-valued function $\langle \cdot,\cdot,\cdot angle: H^1(G_F)^3 ightarrow H^2(G_F).$ In this work we prove a conjecture made in [11] stating that any defined triple Massey product contains zero. As a result the pro-$p$ groups appearing in [11] are excluded from being absolute Galois groups of fields $F$ as above.

研究の動機と目的

• 任意の原始的p乗根を含む体Fのmod-pガロアコホモロジーにおける三重マッセイ積が、常に0を含むという予想を証明すること。
• 特定のpro-p群がG_Fとして実現可能でないことを排除することで、絶対ガロア群に強い構造的制約を与えること。
• p=2の場合の既存の結果を、ブレーレル群とアーベル交叉積を用いて任意の素数pに一般化すること。
• ガロア降下とノルム写像を用いて明示的な代表元を構成することで、一様なコホモロジー的証明を提供することにより、消滅性を確立すること。

提案手法

• Kummer同型を用いてH^1(G_F)をF^×/(F^×)^pに同定し、コホモロジー類をF^×の要素に翻訳する。
• Galois拡大F_aとF_c（共にZ/pZをガロア群とする）と、ノルム条件を満たす要素u, vを用いて、次数p²、指数pのアーベル交叉積代数A_{u,v}を構成する。
• A_{u,v}のF_cへの制限が、vから導かれるノルムに類似た積w_cを用いた記号代数(a, w_c)_p,F_cに同型であることを示す。
• コアストリクションとノルムの整合性を用いて、A_{u,v}がブレーレル群において二つの記号代数のテンソル積(a,s)_p,F ⊗ (c,t)_p,Fと同値であることを証明する。
• ブレーレル群の同型Ψ: H^2(G_F) → Br_p(F)の自然性を用いて、コホモロジー的マッセイ積をアーベル交叉積の構造に関する問題に翻訳する。
• Dwyerらのマッセイ積とコホモロジー的消滅に関する結果を適用し、構成された代数がχ_a ∪ H^1(G_F) + H^1(G_F) ∪ χ_cの像に属することを示し、したがって0 ∈ ⟨χ_a, χ_b, χ_c⟩が成り立つことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の素数pについて、原始的p乗根を含む任意の体Fのmod-pガロアコホモロジーにおける三重マッセイ積が、常に0を含むか？
• RQ2 ブレーレル群と交叉積代数を用いて、すべての素数pについて三重マッセイ積の消滅性を一様に確立できるか？
• RQ3 マッセイ積が定義される場合、その代表元の正確な代数的構造は何か？
• RQ4 ノルム写像とガロア降下の構成は、ガロアコホモロジーにおける高次マッセイ積の消滅にどのように関係するか？
• RQ5 三重マッセイ積が0を含まないため、どのpro-p群が体Fの絶対ガロア群として実現可能でないか？

主な発見

• 任意の原始的p乗根を含む体Fおよび任意の素数pについて、H²(G_F)における三重マッセイ積⟨χ₁, χ₂, χ₃⟩は常に0を含む。
• 構成されたアーベル交叉積A_{u,v}はマッセイ積の要素を表しており、ブレーレル群において二つの記号代数(a,s)_p,F ⊗ (c,t)_p,Fと同値である。
• A_{u,v}をF_cに制限したものは、vから導かれるノルムに類似た積w_cを用いた記号代数(a, w_c)_p,F_cに同型である。
• A_{u,v}が表すコホモロジー類は、χ_a ∪ H¹(G_F)とH¹(G_F) ∪ χ_cの像の和に属し、これにより0 ∈ ⟨χ_a, χ_b, χ_c⟩が示される。
• この証明により、すべての絶対ガロア群G_Fに対して三重マッセイ積の消滅性が確立され、MináčとTânの予想が完全に一般化されて確認された。
• その結果、消滅性を満たさない特定のpro-p群は、体Fの絶対ガロア群として実現可能でないことが排除された。