[論文レビュー] Triple product p-adic L-functions associated to finite slope p-adic families of modular forms, with an appendix by Eric Urban

Fabrizio Andreatta, Adrian Iovita|arXiv (Cornell University)|Aug 9, 2017

Advanced Algebra and Geometry参考文献 11被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、p進モジュラー曲線上のベクトル束とマークドセクションを特徴とする新しい幾何的枠組みを用いて、有限スロープp進族のモジュラー形式に対する三重積p進L関数を構成する。この枠組みにより、長年の未解決であった有限スロープの場合のギャップを解消し、p進族のほぼ収束型モジュラー形式を定義し、Gauss-Manin接続と収束型射影を用いて補間性質を証明する。エリック・アルビアンによる付録で修正された構成が含まれる。

ABSTRACT

We p-adically interpolate the relative de Rham cohomology of the universal elliptic curve over strict neighbourhoods of the ordinary locus of modular curves, together with the Hodge filtration and Gauss-Manin connection. Sections of these sheaves provide the so called nearly overconvergent modular forms. This extends previous work of Andreatta, Iovita and Pilloni where we p-adically interpolate powers of the Hodge bundle and in that case the sections coincide with Coleman overconvergent modular forms. We also show that, under suitable assumptions, one can p-adically interpolate the Gauss-Manin connection. This is used to define p-adic L-functions attached to a triple of p-adic finite slope families of modular forms, generalizing previous constructions for Hida families.

研究の動機と目的

• 従来の通常型またはHida族に限られていた結果に制限されていた、有限スロープp進族のモジュラー形式に対するp進L関数の構成。
• 2014年ウルバンによるランキン＝セルバーグp進L関数の有限スロープにおける根本的なギャップを解消すること。
• p進族のモジュラー層やp-divisible群に適用可能な一般化された幾何的枠組み（ベクトル束とマークドセクション）の開発。
• 有限スロープの収束型固有形式に対するクリスタリンEichler-Shimura同型写像計画の確立。これにより、今後の研究の基盤が敷かれる。
• 有限スロープ設定下でのほぼ収束型イーゼンスタイン族および関連するp進L関数の修正済みかつ完全な構成の提供。

提案手法

• p進族におけるモジュラー層のp進的変動をモデル化するため、マークドセクションおよびその函数層へのフィルトレーションを備えた形式的ベクトル束を導入する。
• 関数層 $\mathbb{W}_k$ を、p進族上でのモジュラー層の変形とし、Gauss-Manin接続 $\nabla_k$ を備える。
• U作用素とV作用素を用いてp-デプリーションを定義し、収束型射影を介してほぼ収束型モジュラー形式を構成する。
• Gauss-Manin接続を繰り返し適用することで、成長が制御されたp進族のコホモロジー類およびq展開を生成する。
• twistingおよび有限スロープ射影子を用いて、$A(\mathfrak{V} \times \mathcal{E}_{Q,\mathfrak{U}} \times \mathfrak{X}')[[q]]$ 上のq展開として三重積p進L関数 $G^{E}_{Q,\mathfrak{U},R,\mathfrak{V}}$ を構成する。
• q展開における $\nabla$-作用を用いて補間性質を検証し、古典的特殊値と整合性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 三つの有限スロープp進族のモジュラー形式に対して、通常型を越えて三重積p進L関数を構成できるか？
• RQ2 ベクトル束とマークドセクションの幾何的枠組みを用いて、p進族のほぼ収束型モジュラー形式をどのように構成できるか？
• RQ3 Gauss-Manin接続およびその反復は、補間性質を有するp進L関数を定義するために果たす役割は何か？
• RQ4 ウルバン（2014）の構成に見られる欠陥をどのように是正し、有限スロープ設定下での有効なp進L関数を得られるか？
• RQ5 この手法はスロープ条件の仮定を緩和し、全固有曲線へと一般化可能か？

主な発見

• 本稿は、三つの有限スロープp進族のモジュラー形式に対して、非対称領域でも有効な三重積p進L関数 $G^{E}_{Q,\mathfrak{U},R,\mathfrak{V}}$ を構成した。
• エリック・アルビアンによる付録で、ウルバン（2014）の有限スロープにおけるランキン＝セルバーグp進L関数の致命的なギャップが修正され、構成が完全化された。
• p進L関数のq展開が、古典的点における三重積L関数の特殊値を補間することが示された。
• この手法により、Gauss-Manin接続およびその反復が、q展開と整合性を持つp進族のコホモロジー類を生成することが立証された。
• 有限スロープ射影子 $e_{R,\mathfrak{V}}$ は、普遍族 $G^{E}_{Q,\mathfrak{U}}$ から重み $\kappa$ のほぼ収束型形式を効果的に分離できた。
• 条件 $u_\kappa \in p\Lambda_I$ を位相的零性に置き換えることで、${\mathfrak{X}}'$ を ${\mathfrak{X}}$ へと一般化可能であることが示され、より広範な適用可能性が示唆された。