[論文レビュー] Triple Shifted Sums of Automorphic L-Functions

Thomas A. Hulse|arXiv (Cornell University)|Aug 22, 2013

Analytic Number Theory Research参考文献 18被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、スペクトル理論と複素解析を用いて、偶数の重さ $k > 0$ の正則尖点形式に関連する自動形式的L関数の三重シフト和の漸近的挙動を確立する。和が特別な三重積 $T^{\times}_{f_1,f_2,f_3}(1 - k/2, k/2, 1/2 - k/2)$ の値に収束し、誤差項 $ one{O}(X^{-1/2 + \varepsilon})$ を伴うことを証明し、導出の主要なステップとして、導出の側面におけるサブコンヴェクシティ境界の確立に貢献する。

ABSTRACT

In this work we provide a meromorphic continuation in three complex variables of two types of triple shifted convolution sums of Fourier coefficients of holomorphic cusp forms. The foundations of this construction are based in the continuation of the spectral expansion of a special truncated Poincaré series recently developed by Jeffrey Hoffstein. As a result we are able to produce previously unstudied and nontrivial asymptotics of truncated shifted sums which we expect to correspond to off-diagonal terms in the third moment of automorphic L-functions.

研究の動機と目的

• 偶数の重さ $k > 0$ の正則尖点形式に関連する自動形式的L関数のシフト和のスペクトル展開を分析すること。
• 二重和の技法を一般化し、三重和の設定にまで拡張することで、高次の相関関係へのシフト和理論を拡張すること。
• 導出の側面における三重シフト和の漸近公式を導出し、明示的な誤差項の境界を得ること。
• 関連する三重ゼータ関数 $Z^{\times}_{f,\nu}(s,w)$ の解析接続と極の構造を調査すること。
• 主要項が三重積 $T^{\times}_{f_1,f_2,f_3}$ の特別な値から生じることを確立し、臨界極における留数が消えること。

提案手法

• 切断されたポincare級数のスペクトル展開を用いて、シフト和をイーゼンスタイン級数および尖点形式との内積として表現する。
• 特にメリン＝バーンズ積分を用いた積分変換法を適用し、三重和を二重および三重の contour 積分として表現する。
• ボッハナーの凸性定理と解析接続技術を用いて、ディリクレ級数 $Z^{\times}_{f,\nu}(s,w)$ の収束領域を拡張する。
• 三重和関数 $D^{\times}_{f,\nu}(s;h)$ および $Z^{\times}_{f,\nu}(s,w)$ の有理型接続を分析し、極と留数を同定する。
• 複素変数複数の contour シフトを実行し、主要項を分離し、減衰推定を用いて誤差項を制御する。
• スペクトル成分におけるキャンセルにより $s_2 = k/2$ における留数が消えることを示し、主要項が三重積 $T^{\times}_{f_1,f_2,f_3}$ の特別な値であることを導く。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 導出の側面における自動形式的L関数の三重シフト和の漸近的挙動は何か？
• RQ2 スペクトル成分とイーゼンスタイン級数の寄与は、三重和の設定においてどのように組み合わされるか？
• RQ3 三重ゼータ関数 $Z^{\times}_{f,\nu}(s,w)$ の極と留数の性質は何か？ それらは主要項に寄与するか？
• RQ4 漸近展開における誤差項は $\mathcal{O}(X^{-1/2 + \varepsilon})$ で有界にできるか？
• RQ5 留数 $R^{\times}_{f_1,f_2,f_3}(s_1)$ がどの条件下で消え、これは主要項にどのような意味を持つのか？

主な発見

• $X \to \infty$ のとき、三重シフト和は特別な値 $T^{\times}_{f_1,f_2,f_3}(1 - k/2, k/2, 1/2 - k/2)$ に収束し、これは漸近展開の主要項である。
• 漸近展開における誤差項は、任意の $\varepsilon > 0$ に対して、形式 $f_1, f_2, f_3$ に関して一様に $\mathcal{O}_{f_1,f_2,f_3}(X^{-1/2 + \varepsilon})$ で有界である。
• $s_2 = 1 - s_1$ における留数 $R^{\times}_{f_1,f_2,f_3}(s_1)$ は恒等的にゼロであるため、この極から追加の主要項は生じない。
• シフトした contour における二重積分項は $\mathcal{O}(X^{-1/2 + \varepsilon})$ であり、その寄与は無視できることが確認された。
• 最終的な単一積分項が、特別な値 $T^{\times}_{f_1,f_2,f_3}(1 - k/2, k/2, 1/2 - k/2)$ に等しく、同程度の小さい誤差項を伴うことが示された。
• $s_2 = k/2$ における留数の消滅により、主要項が発散せず、むしろ三重積の明確に定義された特別な値であることが保証された。