[論文レビュー] Triply-graded link homology and Hochschild homology of Soergel bimodules

Mikhail Khovanov|ArXiv.org|Oct 12, 2005

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 11被引用数 12

ひとこと要約

この論文は、行列式因子やコシュール複体の代わりに、ソルゲル双モジュールのホッホシュィルドホモロジーを用いて三重に重ねられたリンクホモロジーを再解釈する。Kazhdan-Lusztig理論との関連を確立し、(2,n)-トーラス紐結び目のホモロジーのランクがnであることを計算し、[GSV]および[DGR]の予測を確認する。

ABSTRACT

We trade matrix factorizations and Koszul complexes for Hochschild homology of Soergel bimodules to modify the construction of triply-graded link homology and relate it to Kazhdan-Lusztig theory.

研究の動機と目的

• 三重に重ねられたリンクホモロジーを、行列式因子やコシュール複体の代わりに、ソルゲル双モジュールのホッホシュィルドホモロジーを用いて再定式化すること。
• リー代数の表現理論を通じて、このホモロジー理論とKazhdan-Lusztig理論との間の関係を確立すること。
• (2,n)-トーラス紐結び目に関連する双モジュールのホッホシュィルドホモロジーを計算し、[GSV]および[DGR]の予測と一致するランクを持つことを検証すること。
• ホッホシュィルドホモロジーが、三重に重ねられたリンク不変量に対して計算的に扱いやすく、概念的に自然な枠組みを提供することを示すこと。
• Vybornovが予想したように、[KR2]のリンクホモロジーとカテゴリカルOおよび旗多様体上の perverse sheaves の関係を明確にすること。

提案手法

• 多項式代数 $R = \mathbb{Q}[x_1, \dots, x_m]$ のコシュール分解を用い、$2^m$ 個の双モジュール $M$ のコピーからなる複体によりホッホシュィルドホモロジーを計算する。微分は $y_i \otimes 1 - 1 \otimes y_i$ から構成される。
• ホッホシュィルドホモロジー $\mathrm{HH}(R,M)$ を、複体 $C(M)$ のホモロジーとして定義する。ここで $C_j(M)$ は $\binom{m}{j}$ 個の $M$ のコピーの直和であり、微分は $d(m \otimes \lfloor I \rfloor) = \sum_{i \in I} \pm (y_i m - m y_i) \otimes \lfloor I \setminus \{i\} \rfloor$ で与えられる。
• ソルゲル双モジュール $B_i' = R' \otimes_{R_i'} R'$ を、$R'$-双モジュールとして表現し、$R'$ 上でランク2、度数シフト $\{2\}$ を持ち、そのテンソル積を用いてリンク不変量をモデル化する。
• ブレード $\sigma$ に対して、ソルゲル双モジュールの複体 $F(\sigma)$ を構成し、そのホッホシュィルドホモロジーを計算し、得られる複体の全ホモロジーとして三重に重ねられたホモロジー $\overline{H}(\sigma)$ を抽出する。
• 図式的計算を用いる：$R$ に対して向き付きの線、双モジュール $M$ に対してボックス、$\mathrm{HH}(M)$ に対して閉じたループを用い、テンソル積とホッホシュィルドホモロジーを視覚化する。
• 代数 $R$ のコシュール分解の自己双対性を活用し、ホッホシュィルドホモロジーとコホモロジーを同一視することで、計算の柔軟性を高める。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 三重に重ねられたリンクホモロジーは、行列式因子の代わりに、ソルゲル双モジュールのホッホシュィルドホモロジーを用いて再構成可能か？
• RQ2 このホッホシュィルドホモロジー構成は、Kazhdan-Lusztig理論およびリー代数の表現理論とどのように関係するか？
• RQ3 $(2,n)$-トーラス紐結び目に対して $\mathrm{HHH}(\sigma)$ の明示的計算は何か？ そして、予測されたランク $n$ と一致するか？
• RQ4 提案された $\overline{H}$ と [GSV] および [DGR] で予想された HOMFLYPTホモロジーとの間に自然な同型が存在するか？
• RQ5 $S_3$ のソルゲル双モジュールの直和の自己準同型代数は、$m=2$ の場合を越えてリンクホモロジーを計算するために用いられるか？

主な発見

• (2,n)-トーラス紐結び目に対して、三重に重ねられたホモロジー $\overline{H}(L)$ のランクは $n$ であり、[GSV]および[DGR]の予測と一致する。
• $\sigma = \sigma_1^n$ の場合、$\mathrm{HHH}(\sigma)$ を計算する複体は、$\mathrm{HH}_0$ と $\mathrm{HH}_1$ の2つの部分複体に分解され、それぞれ異なる微分を持つ。
• $\mathrm{HH}_0$ 複体は、$k=1,3,\dots,n$ に対して、二重次数 $(2n-2k, 2k-1)$ で非自明なコホモロジーを持ち、$\mathbb{Q}$-係数である。
• $\mathrm{HH}_1$ 複体は、$k=1,3,\dots,n-1$ に対して、二重次数 $(2n-2k, 2k+1)$ で非自明なコホモロジーを持ち、$\mathbb{Q}$-係数である。
• 全ホモロジー $\overline{H}(L)$ は、[GSV]および[DGR]で予想された HOMFLYPTホモロジーと同型であり、$\mathcal{O}(-1) \oplus \mathcal{O}(-1)$ 上の $\mathbb{P}^1$ 上の Gromov-Witten理論との深い関係を示唆している。
• 代数 $R$ のコシュール分解の自己双対性により、$\mathrm{HH}_i(R,M) \cong \mathrm{HH}^{m-i}(R,M)$ が成り立ち、計算においてホモロジーとコホモロジーを自由に交換可能である。