[論文レビュー] Trivial Low Energy States for Commuting Hamiltonians, and the Quantum PCP Conjecture

M. B. Hastings|arXiv (Cornell University)|Jan 16, 2012

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、特定の可換プロジェクター相互作用を持つハミルトニアンが、積状態上の有界深さの局所量子回路によって準備可能な状態として定義される自明な低エネルギー状態を持つための条件を確立する。主な貢献はトポロジカル基準である：もしハミルトニアンの相互作用複体が、均一に有界な逆像径数を持つ1次元複体へ連続的に写像可能であれば、そのハミルトニアンは自明な低エネルギー状態を有する。これは、可換モデルにおける量子PCP予想を理解するための構造的アプローチを提供する。

ABSTRACT

We consider whether or not Hamiltonians which are sums of commuting projectors have "trivial" ground states which can be constructed by a local quantum circuit of bounded depth and range acting on a product state. While the toric code only has nontrivial ground states, commuting projector Hamiltonians which are sums of two-body interactions have trivial ground states. We define an "interaction complex" for a Hamiltonian, generalizing the interaction graph, and we show that if this complex can be continuously mapped to a 1-complex using a map with bounded diameter of pre-images then the Hamiltonian has a trivial ground state assuming one technical condition on the Hamiltonian (this condition holds for all stabilizer Hamiltonians, and we also prove the result for all Hamiltonians under an assumption on the 1-complex). While this includes cases considered by Ref., it also includes other Hamiltonians whose interaction complexes cannot be coarse-grained into the case of Ref. One motivation for this is the quantum PCP conjecture. Many commonly studied interaction complexes can be mapped to a 1-complex after removing a small fraction of sites. For commuting projector Hamiltonians on such complexes, a trivial ground state for the Hamiltonian with those sites removed is a low energy trivial state for the original Hamiltonian. Such states can act as a classical witness to the existence of a low energy state. While this result applies only to commuting Hamiltonians, it suggests that to prove a quantum PCP conjecture one should consider interaction complexes which cannot be mapped to 1-complexes after removing a small fraction of cells. We define this more precisely below; in a sense this generalizes the idea of an expander graph. Surprisingly, such complexes do exist as will be shown elsewhere, and have useful properties in quantum coding theory.

研究の動機と目的

• 可換ハミルトニアンが、積状態上の有界深さの局所量子回路によって準備可能な状態として定義される自明な低エネルギー状態を持つ条件を特定すること。
• 一次元および二次元の可換ハミルトニアンにおける基底状態の自明性に関する先行結果を、より広いクラスの相互作用複体へ一般化すること。
• 逆像径数が一様に有界な1次元複体への連続写像に基づくトポロジカル基準を、自明な低エネルギー状態の存在のために提供すること。
• 低エネルギー状態が、変更された複体上の自明な状態によって古典的に証明可能となるようなハミルトニアンを特定することで、量子PCP予想への影響を調査すること。
• 少数のサイトを除去した後でも、粗粒度化や1次元複体への写像が困難な相互作用複体が、非自明な低エネルギー挙動の候補となるかを検討すること。

提案手法

• ハミルトニアンの相互作用の高次元トポロジカル構造を捉えるために、『相互作用複体』の概念を導入し、相互作用グラフを一般化する。
• 被覆空間が木に粗粒度化可能であるような複体を『被覆1局所化可能』と定義し、局所回路による自明な状態の構成を可能にする。
• 相互作用複体から1次元複体への連続写像が、逆像径数が一様に有界である場合を、自明な低エネルギー状態の存在の十分条件とする。
• クラスタのラベル付きパスを用いて相互作用複体の普遍被覆を構成し、局所ハミルトニアン構造と整合性を持たせ、有界深さ回路の構築を可能にする。
• 有界範囲および有界次数を持つ被覆1局所化可能複体は、常にセット1局所化可能であることを証明し、トポロジカル構造と計算の容易さを結びつける。
• 逆が成り立つと仮定する：任意の被覆1局所化可能複体は1局所化可能である。これは、トポロジカルな自明性と計算的自明性の深い同値性を示唆する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 可換ハミルトニアンの相互作用複体にどのようなトポロジカル条件が成り立つと、自明な低エネルギー状態が存在するか？
• RQ2 一次元的または粗粒度化可能な相互作用複体を持つハミルトニアンのクラスを超えて、自明な低エネルギー状態を持つハミルトニアンのクラスを拡張できるか？
• RQ3 少数のサイトを除去した変更された複体上で、ハミルトニアンの低エネルギー状態をどれほどまで自明な状態によって古典的に証明できるか？
• RQ4 粗粒度化から1次元複体への写像を除く、非自明な低エネルギー挙動を示す構造的障害は存在するか？
• RQ5 少数のサイトを除去した後でも1次元複体への写像が困難な相互作用複体は、量子PCP予想において最も困難な例に対応するか？

主な発見

• 可換ハミルトニアンの相互作用複体が、逆像径数が一様に有界な1次元複体へ連続的に写像可能であれば、そのハミルトニアンは自明な低エネルギー状態を有する。
• この条件は、トーリックコードやレヴィン＝ウェンモデルのような一次元および二次元モデルにおける自明性に関する先行結果を一般化する。
• この結果は、ハミルトニアンに技術的条件が課されるが、すべての安定化子ハミルトニアンで満たされ、より広く成立すると予想されている。
• 本論文は、多くのよく知られた相互作用複体が、わずかに少数のサイトを除去することで1次元複体へ写像可能であることを示し、変更された複体上の自明な状態が低エネルギー状態の古典的証明可能性を示唆する。
• 小さな除去後でも写像が困難な相互作用複体の存在は、量子PCP予想の証明の鍵となる可能性があり、非自明な低エネルギー状態を有する可能性がある。
• 被覆空間と木への粗粒度化に基づくフレームワークを提供し、トポロジカル構造が量子状態準備における計算的自明性を直接示唆する。